Дотичний вектор

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду $M$ евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в $M$ .

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

r:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}

С

p=r(0)\

є довільна лінійна комбінація частинних похідних ${\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)$ .

Зауваження

Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості $C^{1}$ .
Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в $\mathbb {R} ^{2n}$ . За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі $\mathbb {R} ^{n}$ . Нехай в $\mathbb {R} ^{n}$ задано гладкий шлях $\mathbf {f$ :

\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t₀:

\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial x_{1}}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial x_{2}}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial x_{n}}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)

Дотик двох шляхів означає, що різниця $\mathbf {f} (t)$ — $\mathbf {f'} (t)=o(t-t_{0})$ ; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x₀ можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x₀ в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції $f:M\to \mathbb {R}$ число $Xf$ і мають такі властивості:

Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh,$
Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

(X+Y)f=Xf+Yf;

(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).

Це простір назвемо дотичним до многовиду $M$ в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також

Джерела

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.