Зв'язність (некомутативна геометрія)

Нехай ${\displaystyle A}$ — комутативне кільце і ${\displaystyle P}$ — ${\displaystyle A}$-модуль. Існують кілька еквівалентних означень зв'язності на ${\displaystyle P}$.[2] Нехай ${\displaystyle D(A)}$ — модуль диференціювань кільця ${\displaystyle A}$. Зв'язність на ${\displaystyle A}$-модулі ${\displaystyle P}$ визначається як морфізм ${\displaystyle A}$-модулів

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),}$

такий що диференціальні оператори першого порядку ${\displaystyle \nabla _{u}}$ на ${\displaystyle P}$ задовольняють правилу Лейбніца

${\displaystyle \nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.}$

Зв'язність на модулі над комутативним кільцем завжди існує. Кривина зв'язності ${\displaystyle \nabla }$ визначається як диференційний оператор нульового порядку

${\displaystyle R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.}$

На модулі ${\displaystyle P}$ для всіх ${\displaystyle u,u'\in D(A)}$.

Якщо ${\displaystyle E\to X}$ — векторне розшарування, існує взаємно однозначна відповідність між лінійними зв'язністями ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle E\to X}$ і зв'язностями ${\displaystyle \nabla }$ на ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-модулі перетинів ${\displaystyle E\to X}$. При цьому, ${\displaystyle \nabla }$ відповідає коваріантному диференціалу зв'язності на ${\displaystyle E\to X.}$

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.