Катастрофа блакитного неба
Катастрофа блакитного неба — особливий тип біфуркації корозмірності 1 в теорії динамічних систем, при якій довжина гіперболічної періодичної траєкторії при значення параметра, що прямує до критичного, необмежено наростає, і тим самим сімейство таких траєкторій не продовжується на граничне значення параметра, однак при цьому орбіта залишається в обмеженій частині фазового простору і не втрачає стабільності.
Назва біфуркації з'явилася зі словесного опису поведінки траєкторії при біфуркації — подовжуючись, вона в підсумку «розчиняється в блакитному небі»"[1].
Історія
Приклад динамічної системи, що залежить від параметра, в якій при прагненні параметра до критичного довжина деякої періодичної траєкторії прямує до нескінченності, був описаний в 1967 році Фуллером[2]. У 1974 році Паліс і П'ю поставили питання[3] про існування і типовість таких біфуркацій.
В роботі 1980 року В. С. Медведєв розбирає[4] приклад конкретної динамічної системи, в якій відбувається біфуркація блакитного неба, відзначаючи, що як до, так і після біфуркації система виявляється грубою (тобто структурно стійкою). У 1995 році, Д. Тураєв і Л. Шильников пред'являють[5] приклад типового однопараметричного сімейства векторних полів в розмірності 3, в якому відбувається така біфуркація. Такий приклад показує, що ця біфуркація має корозмірность 1, — іншими словами, що вона відбувається при перетині деякою гіперповерхнею в просторі всіх динамічних систем.
Примітки
- Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем»
- Fuller, F., An index of fixed point type for periodic orbits . Amer. J. Math. 89 (1967) 133–148.
- J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes468, 1975.
- В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487–492.
- Blue-sky catastrophe — Scholarpedia
Посилання
- Andrey Shilnikov, Dmitry Turaev (2007) Blue-sky catastrophe. Scholarpedia, 2(8):1889.
- J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
- Fuller, F. Brock, An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133–148.
- Andrey Shilnikov — studies the blue sky catastrophe and other topics in dynamical neuroscience.
- E. Meca et al. Phys. Rev. Lett. 92, 234501 (2004) — Blue Sky Catastrophe in fluid dynamics.
- Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, «О катастрофах голубого неба», Докл. АН СССР, 342:5 (1995), 596–599.
- Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем».
- В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118–125.
- В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487–492.