Квадрупольна іонна пастка

У полі квадруполя на іони діє сила, що повертає їх до центру пастки. Рух іонів у змінному силовому полі описується розв'язками рівняння Матьє[7]. Його загальна форма, записана в безрозмірних змінних, має вигляд

Діаграма стабільностей областей квадрупольної іонної пастки в залежності від напруги та частоти коливань поля. Рух іона стабільний там, де дві смуги перетинаються.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\xi ^{2}}}+[a_{u}-2q_{u}\cos(2\xi )]u=0.}$

Для виводу цього рівняння треба розглянути силу, що діє на іон. Наприклад, в напрямку осі х ця сила дорівнює

${\displaystyle F_{x}=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-e{\frac {\partial \phi }{\partial x}},}$

де ${\displaystyle \phi }$ — потенціал електричного поля, ${\displaystyle m}$ — маса іона, ${\displaystyle e}$ — елементарний електричний заряд. Длі квадрупольної пастки потенціал ${\displaystyle \phi }$ задається формулою:

${\displaystyle \phi ={\frac {\phi _{0}}{r_{0}^{2}}}{\big (}\lambda x^{2}+\sigma y^{2}+\gamma z^{2}{\big )}\!}$

де ${\displaystyle \phi _{0}\,}$ — зовнішній потенціал, ${\displaystyle \lambda \,}$, ${\displaystyle \sigma \,}$ та ${\displaystyle \gamma \,}$ — певні коефіцієнти, що задають конфігурацію поля, а ${\displaystyle r_{0}\,}$ — стала з розмірністю довжини. Для іонної пастки ${\displaystyle \lambda =\sigma =1\,}$, а ${\displaystyle \gamma =-2\,}$, для квадрупольного фільтра маси ${\displaystyle \lambda =-\sigma =1\,}$, ${\displaystyle \gamma =0\,}$.

Зовнішній потенціал є сумою постійної та змінної частин

${\displaystyle \phi _{0}=U+V\cos \Omega t,\!}$

де ${\displaystyle \Omega }$ — циклічна частота змінної частини потенціалу.

Рівняння руху іона вздовж осі х набирає форми

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2e}{r_{0}^{2}}}{\big (}U+V\cos \Omega t{\big )}x,\!}$

що має вигляд рівняння Матьє. Аналогічні рівняння можна отримати для руху вздовж інших осей.

Зведення рівняння до канонічної форми рівняння Матьє визначає його коефіцієнти;

${\displaystyle a_{x}={\frac {8eU}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}},\qquad q_{x}=-{\frac {4eV}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}},\!}$

${\displaystyle a_{y}=a_{x}\qquad q_{y}=q_{x}\,}$,

${\displaystyle a_{z}=-{\frac {8eU}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}},\qquad q_{z}={\frac {4eV}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}.\!}$

Захоплення іона в пастку можна зрозуміти з аналіз областей стабільності двох рівнянь Матьє — для x-вої та z-вої складових поля в залежності від коефіцієнтів. Цей аналіз проводиться чисельно. Результати продемонстровано на рисунку. Область стабільності — там де перетинаються дві смуги. Деталі можна знайти в книзі Мюллера-Кірстена[8]. Тобто, для успішного захоплення іонів потрібно підібрати параметри потенціалів, розміри системи та частоту.