Квантилі розподілу хі-квадрат

Нехай ${\displaystyle F_{n}}$ — функція розподілу хі-квадрат ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ з ${\displaystyle n}$ ступенями свободи, і ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$. Тоді ${\displaystyle \alpha }$-квантилем цього розподілу називається число ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ таке, що

${\displaystyle F_{n}\left(\chi _{\alpha ,n}^{2}\right)=\alpha }$.

• Прямо з означення випливає, що випадкова величина, що має розподіл хі-квадрат з ${\displaystyle n}$ ступенями свободи, не перевищує значення ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ з ймовірністю ${\displaystyle \alpha }$ і перевищує його з ймовірністю ${\displaystyle 1-\alpha }$.
• Функція ${\displaystyle F_{n}}$ строго зростає для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Звідси визначена її обернена функція ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$, і

${\displaystyle F_{n}^{-1}(\alpha )=\chi _{\alpha ,n}^{2}}$.

• Функція ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ не має простого представлення. Проте, можливо обчислити її значення чисельно.

Для отримання наближених значень квантилів розподілу хі-квадрат ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ існують апроксимації.

• Апроксимація Корніша-Фішера [1]

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n+A{\sqrt {n}}+B+{\frac {C}{\sqrt {n}}}+{\frac {D}{n}}+{\frac {E}{n{\sqrt {n}}}}}$,

де

${\displaystyle A=d{\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle B={\frac {2}{3}}\left({{d}^{2}}-1\right)}$

${\displaystyle C=d\cdot {\frac {{{d}^{2}}-7}{9{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle D={\frac {6{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}-32}{405}}}$

${\displaystyle E=d\cdot {\frac {9{{d}^{4}}+256{{d}^{2}}-433}{4860{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle d=2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{1-\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}-1.5774}$ при ${\displaystyle 0.5\leq \alpha \leq 0.999}$

${\displaystyle d=-2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}+1.5774}$ при ${\displaystyle 0.001\leq \alpha <0.5}$

• Апроксимація Голдштейна [2]

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n\cdot {{\left[\sum \limits _{i=0}^{6}{{{n}^{-{\frac {i}{2}}}}\cdot {{d}^{i}}\cdot \left({{a}_{i}}+{\frac {{b}_{i}}{n}}+{\frac {{c}_{i}}{{n}^{2}}}\right)}\right]}^{3}}}$,

де d визначається аналогічно, а коефіцієнти a,b,c наведені в таблиці

Таблиця, що наведена нижче, отримана за допомогою функції chi2inv пакету MATLAB. Щоб отримати значення ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$, необхідно знайти рядок, відповідний потрібному ${\displaystyle n}$, і колонку, відповідну потрібному ${\displaystyle \alpha }$. Шукане число знаходиться в таблиці на їх перетині.

1. Golberg H., Levine H. Approximate formulas for the percentage points and normalization of t and ${\displaystyle \chi ^{2}}$ // AMS. 1945. V.17. P. 216-225.
2. Goldstein R.B. Chi-square quantiles, Algorithm 51 // Commun. Assoc. Comp. 1973. V. 16. P. 483-485.