Код Грея

Коди Грея легко виходять з двійкових чисел шляхом побітової операції «виключне АБО» з тим же числом, зрушеним вправо на один біт. Отже, i-й біт коду Грея G_i виражається через біти двійкового коду B_i наступним чином:

${\displaystyle G_{i}=B_{i}\oplus B_{i+1},}$

де ${\displaystyle \oplus }$ — операція «виключне АБО»; біти нумеруються справа наліво, починаючи з молодшого. Нижче наведено алгоритм перетворення з двійкової системи числення в код Грея, записаний на мові C (мова програмування):

unsigned int grayencode(unsigned int g) 
{
    return g ^ (g >> 1);
}

Той же алгоритм, записаний на мові Pascal:

function BinToGray(b:integer):integer;
begin
  BinToGray:=b xor (b shr 1)
end;

Приклад: перетворити двійкове число 10110 в код Грея.

10110
01011
-----
11101

Зворотний алгоритм — перетворення коду Грея в двійковий код — можна виразити рекурентною формулою

${\displaystyle ~B_{i}=B_{i+1}\oplus G_{i},}$

причому перетворення здійснюється побітно, починаючи зі старших розрядів, і значення Bi + 1, використовуване у формулі, обчислюється на попередньому кроці алгоритму. Дійсно, якщо підставити в цю формулу вищенаведений вираз для i-го біта коду Грея, отримаємо

${\displaystyle ~B_{i}=B_{i+1}\oplus G_{i}=B_{i+1}\oplus (B_{i}\oplus B_{i+1})=B_{i}\oplus (B_{i+1}\oplus B_{i+1})=B_{i}\oplus 0=B_{i}.}$

Однак наведений алгоритм, пов'язаний з маніпуляцією окремими бітами, незручний для програмної реалізації, тому на практиці використовують видозмінений алгоритм:

${\displaystyle ~B_{k}=\bigoplus \limits _{i=k}^{N}G_{i},}$

де N — кількість бітів в коді Грея (для збільшення швидкодії алгоритму за N можна взяти номер старшого ненульового біта коду Грея); знак ${\displaystyle \oplus }$ означає підсумовування за допомогою операції «виключне АБО», тобто

${\displaystyle ~\bigoplus \limits _{i=k}^{N}G_{i}=G_{k}\oplus G_{k+1}\oplus ...\oplus G_{N-1}\oplus G_{N}.}$

Дійсно, підставивши в формулу вираз для i-го біта коду Грея, отримаємо

${\displaystyle ~B_{k}=\bigoplus \limits _{i=k}^{N}G_{i}=\bigoplus \limits _{i=k}^{N}(B_{i}\oplus B_{i+1})=(B_{k}\oplus B_{k+1})\oplus (B_{k+1}\oplus B_{k+2})\oplus ...\oplus (B_{N-1}\oplus B_{N})\oplus (B_{N}\oplus B_{N+1})=}$ ${\displaystyle =B_{k}\oplus (B_{k+1}\oplus B_{k+1})\oplus ...\oplus (B_{N}\oplus B_{N})\oplus B_{N+1}=B_{k}\oplus B_{N+1}=B_{k}}$

Тут передбачається, що біт, що виходить за рамки розрядної сітки (${\displaystyle B_{N+1}}$), дорівнює нулю. Нижче приведена функція на мові С, що реалізує даний алгоритм. Вона здійснює послідовний зсув вправо і підсумовування вихідного двійкового числа, до тих пір, поки черговий зсув не обнулить доданок.

unsigned int graydecode(unsigned int gray) 
{
    unsigned int bin;
    for (bin = 0; gray; gray >>= 1) {
      bin ^= gray;
    }
    return bin;
}

Той же самий алгоритм, записаний на мові Паскаль:

function GrayToBin(b:integer):integer;
 var g:integer;
begin
  g:=0;
  while b>0 do begin
    g:=g xor b;
    b:=b shr 1;
  end;
  GrayToBin:=g;
end;

Приклад: перетворити код Грея 11101 в двійковий код.

11101
01110
00111
00011
00001
-----
10110

Швидке перетворення 8/16/24/32-разрядного значення коду Грея в двійковий код на мові BlitzBasic:

Function GRAY_2_BIN%(X%)
Return X Xor ((X And $88888888) Shr 4) Xor ((X And $CCCCCCCC) Shr 2) Xor ((X And $EEEEEEEE) Shr 1)
End Function

Код Грея для n біт може бути рекурсивно побудований на основі коду для n-1 біт шляхом перевертання списку біт (тобто записуванням кодів у зворотному порядку), конкатенації вихідного і перевернутого списків, дописування нулів на початку кожного коду у вихідному списку та одиниць — у початок кодів в перевернутому списку. Так, для генерації списку для n = 3 біт на підставі кодів для двох біт необхідно виконати наступні кроки:

Нижче представлений один з алгоритмів створення послідовності коду Грея заданої глибини, записаний на мові Perl:

  my $depth = 16; # generate 16 Gray codes, 4 bits wide each
  my @gray_codes = ( '0', '1' );
  while(scalar(@gray_codes)<$depth)
     {
     my @forward_half=map{'0'.$_} @gray_codes;
     my @reverse_half=map{'1'.$_} reverse(@gray_codes);
     @gray_codes=(@forward_half,@reverse_half);
     }

Рекурсивна функція побудова коду Грея мовою C:

//n -- довжина що потрібна,
//m -- показник на масив
// всі коди довжиною менші за n
//depth -- параметр рекурсії
 
int gray (int n, int* m, int depth) 

{
	int i, t = (1 << (depth - 1));
 
	if (depth == 0)
		m[0] = 0;
 
	else {
        //масив зберігає десяткові записи двійкових слів
		for (i = 0; i < t; i++)
			m[t + i] = m[t - i - 1] + (1 << (depth - 1));
	}
	if (depth != n)
		gray(n, m, depth + 1);

	return 0;
}

Швидке перетворення 8/16/24/32-разрядного бінарного коду в код Грея мовою BlitzBasic:

Function BIN_2_GRAY%(X%)
Return X Xor ((X And $EEEEEEEE) Shr 1)
End Function