Кубічні сплайни Ерміта
Кубічні сплайни Ерміта — кубічні сплайни, що використовують інтерполювання поліномами методом Ерміта. Цей метод інтерполювання використовує дві контрольні точки та два вектори напрямків.
![](../I/Hermite_Interpolation.gif)
Названі на честь французького математика Шарля Ерміта.
Кубічні поліноміальні сплайни широко використовуються у галузі комп'ютерної графіки та геометричного моделювання для отримання кривих або траєкторії руху, що проходять через задані точки площини або тривимірного простору.
Інтерполяція на інтервалі
Інтерполяція на інтервалі (0,1)
f(t) | f(0) | f(1) | f'(0) | f'(1) |
---|---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 0 | |
0 | 1 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 1 | 0 | |
0 | 0 | 0 | 1 | |
Задано початкову точку з початковим вектором при та кінцеву точку з кінцевим вектором при .
Для кубічного полінома та його похідної
виразимо коефіцієнти через :
Підставивши значення полінома та його похідної із таблиці справа, отримаємо чотири базові ермітові поліноми:
![](../I/Hermite_Basis.svg.png.webp)
Тоді інтерполяційний поліном визначається як лінійна комбінація чотирьох базових:
Існують такі властивості симетрії:
- — симетрія відносно осі y=1/2,
- — симетрія відносно осі x=1/2,
- — симетрія відносно точки (0, 1/2).
Інтерполяція на інтервалі
Інтерполяція на цьому інтервалі задається формулою
Зв'язок з кривими Без'є
Чотири базові ермітові поліноми легко виразити через поліноми Бернштейна, що є базисними для кривих Без'є
Тому кубічний сплайн Ерміта з параметрами
аналогічний кубічній кривій Без'є з опорними вершинами
Інтерполяція сплайном
Інтерполяції набору точок для , здійснюється для кожного інтервалу, і параметри для однієї точки в різних інтервалах вибираються однаковими. Інтерполяційний сплайн отримується неперервно-диференційовним на
Існують декілька способів задання параметрів.
Кінцеві різниці
Найпростіший спосіб із застосуванням трьох контрольних точок:
для індексів , і односторонні різниці на кінцях.
Кардинальні сплайни
Параметр .