Кубічний сплайн

Кубічний сплайн — гладка функція, область визначення якої розбито на скінченне число відрізків, на кожному з яких вона збігається з деяким кубічним многочленом.

Опис

Функція задано на відрізку , розбитому на частини , . Кубічним сплайном дефекту 1 (різниця між степенем і гладкістю сплайна) називається функція , яка:

  • на кожному відрізку є многочленом степеня не вище від трьох;
  • має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку ;
  • в точках виконується рівність , тобто сплайн інтерполює функцію в точках .

Для однозначного задання сплайна перелічених умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги — граничні умови:

  1. «Природний сплайн» — граничні умови виду: ;
  2. Неперервність другої похідної — граничні умови виду: ;
  3. Періодичний сплайн — граничні умови виду: і .

Теорема. Для будь-якої функції і будь-якого розбиття відрізка на частини існує рівно один природний сплайн , що задовольняє переліченим вище умовам.

Ця теорема є наслідком загальнішої теореми Шенберга — Вітні про умови існування інтерполяційного сплайна.

Побудова

На кожному відрізку функція є многочленом третього степеня , коефіцієнти якого треба визначити. Запишемо для зручності у вигляді:

тоді

Умови неперервності всіх похідних до другого порядку включно записуються у вигляді





де змінюється від до а умови інтерполяції у вигляді

Позначимо

Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів «природного сплайна»:

;
;
;
,
причому і .

Якщо врахувати, що , то можна обчислити методом прогонки для тридіагональної матриці.

Примітки

    Література

    1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York : Springer-Verlag, 1978.
    2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — 2-е, перераб. и доп. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
    3. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
    4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. М. : Наука, 1987. — С. 63-68.

    Посилання

    1. Boor, 1978.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.