Ланцюги Маркова з неперервним часом
У теорії ймовірностей ланцюгом Маркова з неперервним часом називається випадковий процес { X(t) : t ≥ 0 } визначений у неперервному часовому проміжку, що приймає значення у деякій скінченній чи зліченній множині і задовольняє властивість Маркова. Відмінність цього виду ланцюгів Маркова від дискретних ланцюгів Маркова полягає в тому, що переходи між станами можуть відбуватися в будь-які моменти часу і час наступного переходу теж є випадковою величиною.
Формальне означення
Випадковий процес , що приймає значення в деякій скінченній чи зліченній множині називається ланцюгом Маркова (з неперервним часом), якщо
- .
Ланцюг Маркова з неперервним часом називається однорідним якщо:
- .
Матриця перехідних функцій і рівняння Колмогорова — Чепмена
Як і у дискретному випадку Ланцюги Маркова з неперервним часом повністю визначаються заданням початкового розподілу
іматрицею перехідних функцій (перехідних ймовірностей)
- .
Матриця перехідних ймовірностей задовільняє рівнянню Колмогорова — Чепмена: або
- .
Матриця інтенсивностей
За визначенням , матриця інтенсивностей
чи еквівалентно:
- .
Із рівняння Колмогорова-Чепмена випливають:
- Пряме рівняння Колмогорова
- Обернене рівняння Колмогорова
Для обох рівнянь початковим наближенням є . Відповідний розв'язок рівний:
Література
- S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6.
- J. R. Norris. Markov Chains. Cambridge University Press, 1997. ISBN ISBN 0-521-48181-3