Локалізований стан

Наприклад, атом водню складається із протона й електрона. У атомі ці дві частки зв'язані між собою силами електростатичного притягання. Хвильова функція електрона в основному стані спадає як ${\displaystyle \psi \propto e^{-r/2a_{0}}}$, де r — віддаль від протона, ${\displaystyle a_{0}}$ — радіус Бора. Ймовірність того, що електрон перебуватиме на віддалі r від протона дорівнює ${\displaystyle |\psi |^{2}\propto e^{-r/a_{0}}}$ й дуже швидко зменшується із збільшенням віддалі.

Однак, можливі також випадки, коли електрон і протон перебувають далеко один від одного. При цьому сумарна енергія часток повинна бути більшою, ніж енергія зв'язку між ними. Для таких станів ймовірність знайти електрон на будь-якій віддалі від протона практично не залежить від цієї віддалі. Такі стани називаються делокалізованими.

Локалізовані й делокалізовані стани існують також у випадку модельної квантовомеханічної задачі про частку в потенціальній ямі, наприклад, у напівпровідниковій квантовій ямі. Частка може локалізуватися в ямі в тому випадку, якщо яма досить глибока й широка.

Умову локалізації можна оцінити в квазікласичному наближенні

${\displaystyle \int p(x)dx=2\pi n\hbar }$,

де ${\displaystyle p(x)={\sqrt {2(E-U(x))/m}}}$, E — енергія частки, U(x) — потенціал, яким задається яма, m — маса частки, ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, n — квантове число, а інтегрування проводиться по класично дозволеній області, де U(x) < E.

Для прямокутної ями з глибиною ${\displaystyle U_{0}}$ й шириною W умовою існування хоча б одного локалізованого стану є нерівність

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2U_{0}}{m}}}W>2\pi \hbar }$.

В ідеальному кристалі згідно з теоремою Блоха усі стани описуюються періодичними хвильовими функціями, помноженими на комплексну експоненту. Таким чином, стани ідеального кристалу є делокалізованими.

Однак у реальних кристалах завжди пристутні домішки. Електрони провідності чи дірки в напівпровідниках і діелектриках можуть зв'язуватися з домішками. В такому випадку вони перебуватимуть здебільшого поблизу домішки, а їхні хвильові функції швидко спадатимуть при віддаленні від неї. Таким чином у напівпровідниках і діелектриках з'являються локалізовані стани із енергіями, які лежать в забороненій зоні. Локалізовані стани відіграють важливу роль у визначенні характеристик напівпровідників, наприклад, їхньої провідності. При великій концентрації локалізованих станів у напівпровідниках виникає особливий вид провідності — стрибкова провідність, фізична природа якої полягає в перестрибуванні носіїв заряду від одного локалізованого стану до іншого.

Схожа картина виникає в аморфних тілах, у яких зберігається лише ближній порядок у розташуванні атомів. Носії заряду в них можуть локалізуватися на численних розупорядкованих областях.

Особливим видом локалізації є поверхнева локалізація. Поверхня — це найбільший із дефектів кристалічної структури. Напівпровідники й діелектрики, як відомо, можуть зберігати на своїй поверхні електричні заряди при електризації. Така здатність зумовлена існуванням локалізованих біля поверхні електронних станів. Див., наприклад, Таммівські стани.