Машина Атвуда

Діаграми вільних тіл для двох вислих мас машини Атвуда. Наша домовленість про знаки, виражена через вектори прискорення, така, що m₁ прискорюється додолу, а m₂ догори, як було б у випадку коли m₁ > m₂

Ми можемо отримати рівняння для прискорення через використання аналізу сил. Якщо ми розглядаємо невагому, нерозтяжну нить і ідеальний невагомий блок, сили які ми повинні врахувати то: сила розтягу (T) і вагу обох мас (W₁ і W₂). Для обчислення пришвидшення нам треба розглянути сили, що впливають на кожен вантаж індивідуально. Використовуючи другий закон Ньютона (за умови ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$) ми можемо вивести систему рівнянь для прискорення (a).

Ми прийняли, що для ${\displaystyle m_{1}}$ a додатне коли спрямоване додолу, а для ${\displaystyle m_{2}}$ коли догори. Ваги ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$ це просто ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ і ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ відповідно.

Сили, що впливають на m₁:

${\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}$

Сили, що впливають на m₂:

${\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}$

додаючи два попередні рівняння отримуємо

${\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}$,

і наша заключна формула для прискорення

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Також прискорення спричинене гравітацією можна знайти вимірявши час руху вагів, і обчисливши значення для постійного прискорення a: ${\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}$.

Машину Атвуда іноді використовують для ілюстрації методу Лагранжа отримання рівняння руху. [2]

Математична модель хитної машини Атвуда

Може бути корисним знати рівняння для ниті. Для обчислення розтягу ми підставляємо рівняння для прискорення в одне з двох силових рівнянь.

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Наприклад, підставляючи в ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$, ми отримуємо

${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Для дуже малих різниць між m₁ і m₂, обертовою інерцією I блока радіуса r не можна знехтувати. Кутове прискорення блока за умови, що нить не проковзує по блоку таке:

${\displaystyle \alpha ={a \over r},}$

де ${\displaystyle \alpha }$ це кутове прискорення. Тоді сумарний крутильний момент:

${\displaystyle \tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

Комбінуючи з другим законом Ньютона для вислих мас, і розв'язуючи для T₁, T₂ і a, ми маємо:

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг в сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг в сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Якщо тертя вальниці дуже мале (але не інерція блока), ці рівняння спрощуються до такого вигляду:

Вагончики Київського фунікулера

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг в сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг в сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$