Механіка Лагранжа

Для окремої частинки, що знаходиться під дією зовнішніх сил, можна отримати за другим законом Ньютона систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку, по одному для кожного виміру. Отже, рух такої частинки повністю визначатиметься шістьма незалежними змінними: трьома початковими координатами й трьома початковими швидкостями. Враховуючи це, зрозуміло, що загальні розв'язки рівнянь Ньютона перетворюються на частинні розв'язки, що визначають часову еволюцію частинки з початкового стану (t = 0).

Стандартним набором змінних, що визначають положення ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}=(r_{1},r_{2},r_{3})}$ і швидкість ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} _{j}=({\dot {r_{1}}},{\dot {r_{2}}},{\dot {r_{3}}})}$, є декартові координати та їхні часові похідні ${\displaystyle (x,y,z)}$ і ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$ відповідно). Визначення сил у термінах стандартних координат, взагалі кажучи, доволі тяжке.

Інший, більш ефективний підхід — використання лише такої кількості координат, яка потрібна для визначення положення частинки в просторі, враховуючи накладені на неї зв'язки і записуючи потенціальну й кінетичну енергії (іншими словами, визначається кількість ступенів вільності частинки). Енергії легше записувати і розраховувати, ніж сили, оскільки енергія є скалярною величиною, на відміну від сили, яка є величиною векторною.

Подібні координати мають назву узагальнених координат і позначаються ${\displaystyle q_{j}}$, кожна узагальнена координата відповідає одній ступені вільності. Відповідні часові похідні є узагальненими швидкостями ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$. Кількість ступенів вільності не завжди відповідає розмірності простору: наприклад, системи багатьох тіл у тривимірному просторі (наприклад, маятник Бартона, планети у Сонячній системі, атоми в молекулах) можуть мати окрім поступальних ще й обертальні ступені вільності. Така кількість ступенів вільності різко контрастує з кількістю просторових координат у ньютонівських рівняннях.

Радіус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ у деякій стандартній системі координат (декартовій, сферичній і т. д.) зв'язаний із узагальненими координатами трансформаційним рівнянням:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},...,q_{N},t),}$

де N — кількість ступенів вільності системи. Аналогічне рівняння зв'язує швидкість у стандартній системі координат і узагальнені швидкості.

Візьмемо як ілюстрацію маятник довжиною l. Легко бачити, що на таку систему накладається зв'язок у вигляді нитки або стрижня, що закріплюють висок маятника. Положення виска ${\displaystyle \mathbf {r} }$ залежить від координат x і y в момент часу t, тобто, ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (x(t),y(t))}$, але окрім того координати x і y зв'язані між собою рівнянням в'язі (тому при зміні x змінюється y і навпаки). Отже, розумним вибором узагальненої координати буде кут відхилення маятника від рівноваги θ, тож ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (x(\theta ),y(\theta ))=\mathbf {r} (\theta )}$, причому ${\displaystyle \theta =\theta (t)}$, що відповідає одній ступені вільності маятника. Тоді трансформаційне рівняння для радіус-вектора матиме вигляд:

${\displaystyle \mathbf {r} (\theta (t))=\mathbf {r} (l\sin \theta (t),-l\cos \theta (t)),}$

а для швидкості:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}(\theta (t),{\dot {\theta }}(t))=\mathbf {r} (l{\dot {\theta }}\cos \theta (t),l{\dot {\theta }}\sin \theta (t)).}$

У загальному випадку N узагальнених координат зв'язуються із системою n частинок за допомоги системи трансформаційних рівнянь[1]:

${\displaystyle {\begin{array}{r c l}\mathbf {r} _{1}&=&\mathbf {r} _{1}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{N},t),\\\mathbf {r} _{2}&=&\mathbf {r} _{2}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{N},t),\\&\vdots &\\\mathbf {r} _{n}&=&\mathbf {r} _{n}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{N},t).\end{array}}}$

Вираз для віртуального переміщення ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ для системи з незалежними від часу зв'язками є повним диференціалом[2]:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$

Отже, узагальнені координати формують дискретний набір змінних, що визначають конфігурацію системи. Поширюючи подібний набір на континуум, можна отримати польові змінні, наприклад, ${\displaystyle \varphi (r,t)}$, що являє собою залежну від положення й часу функцію густини поля.

Принцип д'Аламбера — Лагранжа вводить поняття віртуальної роботи ${\displaystyle \delta A}$ зовнішніх сил ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ та сил інерції у тривимірній системі n частинок, рух яких узгоджений із накладеними зв'язками. Віртуальна робота ${\displaystyle \delta A}$ з віртуального переміщення ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ (узгодженого із зв'язками) частинки масою ${\displaystyle m_{i}}$ дорівнює:

де ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ — прискорення j-ї частинки. У термінах узагальнених координат:

${\displaystyle \delta A=\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=0.}$

Можна показати, що прикладені сили можна виразити через узагальнені сили ${\displaystyle Q_{j}}$, продиференціювавши віртуальну роботу за ${\displaystyle \delta q_{j}}$:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\delta A}{\delta q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}$

Якщо сили ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ консервативні, то можна ввести скалярний потенціал ${\displaystyle V}$, градієнт якого дорівнює тій самій силі:

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\nabla V\Rightarrow Q_{j}=-\sum _{i=1}^{n}\nabla V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}.}$

Тобто, узагальнені сили можна звести до скалярного потенціалу в термінах узагальнених координат. Цього слід було очікувати, оскільки потенціал ${\displaystyle V}$ є функцією координат ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, які в свою чергу залежать від узагальнених координат. Тому, використовуючи правило диференціювання складної функції, легко отримати попередній результат.

Кінетична енергія ${\displaystyle T}$ для системи n частинок визначається таким чином:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}^{2}.}$

Запишемо частинні похідні від ${\displaystyle T}$ за узагальненими координатами ${\displaystyle q_{j}}$ й узагальненими швидкостями ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}$

Оскільки ${\displaystyle q_{j}}$ і ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ є незалежними, то виконується таке співвідношення:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},}$

тоді:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}$

Візьмемо від цього виразу повну похідну за часом:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\ddot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}+\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}=Q_{j}+{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$

Остаточно маємо таке рівняння[2]:

Це важливе рівняння, оскільки воно вже містить закони Ньютона, але вже немає потреби знаходити сили реакції зв'язків, оскільки в рівнянні використовуються віртуальна робота й узагальнені координати, які залежать від зв'язків. На практиці це рівняння використовується нечасто, але воно грає важливу роль при виведенні рівнянь Лагранжа.

Основою лагранжевої механіки є функція Лагранжа (лагранжіан), яка зберігає всю інформацію про динаміку системи у вигляді дуже простого виразу. Так, для дослідження динаміки системи обирається набір відповідних узагальнених координат, визначаються кінетична й потенціальна енергії складових елементів системи, далі записується функція Лагранжа, що визначається таким чином:

${\displaystyle L=T-V,}$

де ${\displaystyle T}$ — повна кінетична енергія системи, ${\displaystyle V}$ — повна потенціальна енергія системи.

Іншим важливим поняттям лагранжевої механіки є дія ${\displaystyle S}$, що визначається як інтеграл за часом від функції Лагранжа:

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)\mathrm {d} t.}$

Дія також зберігає інформацію про динаміку системи й має велике значення в теоретичній фізиці. З математичної точки зору дія — це функціонал: її значення залежить від повної функції Лагранжа для будь-якого моменту часу між t₁ і t₂. Розмірність дії збігається з розмірністю кутового моменту.

У теорії поля функція Лагранжа записується через густину лагранжіану${\displaystyle {\mathcal {L}}}$:

${\displaystyle L=\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r,}$

тоді дія матиме такий вигляд:

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\mathrm {d} t.}$

Нехай q₀ і q₁ — координати у початковий та кінцевий моменти часу t₀ і t₁. За допомоги варіаційного числення можна показати, що рівняння Лагранжа є прямим наслідком принципу Гамільтона — Остроградського:

Траєкторія між моментами часу t₀ і t₁ залишає стаціонарним функціонал дії S.

Під стаціонарністю мається на увазі незмінність першої варіації функціонала дії при малих змінах траєкторії, кінці якої (q₀, t₀) й (q₁, t₁) фіксовані. В математичній формі принцип Гамільтона — Остроградського записується так:

${\displaystyle \delta S=0.}$

Таким чином, замість розглядання частинок, що прискорюються внаслідок прикладання до них деяких сил, можна розглядати частинки, що рухаються за деякою траєкторією, що залишає стаціонарним функціонал дії. Принцип Гамільтона — Остроградського часто пов'язують із принципом найменшої дії, хоча функціонал дії має залишатися лише стаціонарним, необов'язково мінімальним чи максимальним. Наприклад, якщо розглядати гармонічний осцилятор для більшого за період проміжку часу, можна помітити, що для малих ділянок траєкторії значення дії може бути мінімальним, тоді як для великих — максимальним[3].

Принцип стаціонарної дії може використовуватися замість законів Ньютона як фундаментальний принцип механіки, що дозволяє будувати механіку на основі інтегрального принципа замість диференціального (який складають закони Ньютона, що базуються на диференціальних рівняннях). Але слід зазначити, що принцип Гамільтона — Остроградського працює як варіаційний принцип лише для голономних зв'язків (тобто, таких зв'язків, що можна виразити у вигляді рівності типу ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0}$). Для неголономних зв'язків прнинцип Гамільтона — Остроградського необхідно замінити варіаційними принципом, що ґрунтується на принципі д'Аламбера — Лагранжа для віртуальної роботи. Розгляд лише голономних зв'язків — ціна, яку ми платимо за використання елегантного варіаційного формулювання механіки.

Для системи з N ступенями вільності рівняння Лагранжа містять N узагальнених координат і N узагальнених швидкостей. У лагранжевій механіці основними рівняннями руху є рівняння Лагранжа другого роду, або рівняння Ейлера — Лагранжа:

Якщо у системі діють непотенціальні сили, рівняння Ейлера — Лагранжа матимуть такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{\prime },}$

де ${\displaystyle Q_{i}^{\prime }}$ — узагальнена непотенціальна сила.

Хоча математичний апарат лагранжевої механіки більш складний за ньютонівську механіку, рівняння Лагранжа дають більш глибоке розуміння сутності класичної механіки: наприклад, симетрії та законів збереження. На практиці набагато легше розв'язати рівняння Лагранжа, ніж рівняння Ньютона, оскільки лагранжев підхід потребує мінімальну кількість узагальнених координат з огляду на симетрію системи, а сили реакції зв'язків вже включені до геометрії системи. Для кожної узагальненої координати потрібне лише одне рівняння Лагранжа.

У системі багатьох частинок кожна частинка може мати свою, відмінну від інших кількість ступенів вільності. У кожному з рівнянь Лагранжа T являє собою повну кінетичну енергію системи, а V — повну потенціальну енергію.

Рівняння Ейлера — Лагранжа можна вивести безпосередньо з принципу Гамільтона — Остроградського, бо вони є математично еквівалентними. З варіаційного числення відомо: якщо на певний функціонал J у вигляді

${\displaystyle J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y^{\prime })\mathrm {d} t}$

накласти умову стаціонарності, то функція F задовольнятиме таке рівняння:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial F}{\partial y^{\prime }}}{\Bigr )}={\frac {\partial F}{\partial y}}.}$

Тепер, якщо зробити заміни позначень:

${\displaystyle x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y^{\prime }\rightarrow {\dot {q}},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow S,}$

легко отримати рівняння Ейлера — Лагранжа. Оскільки рівняння Гамільтона можна отримати з рівнянь Лагранжа (за допомоги перетворень Лежандра), а рівняння Лагранжа — з законів Ньютона, причому всі ці рівняння еквівалентні одні одному й підсумовують класичну механіку, то можна зробити висновок про те, що класична механіка ґрунтується на варіаційному принципі (принципі Гамільтона — Остроградського).

Для консервативної системи, коли потенціальна енергія є функцією і не залежить від швидкості, рівняння Лагранжа випливають безпосередньо з узагальненого рівняння руху:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\Bigr )}-{\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial q_{j}}}={\Bigl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\Bigr )}+0{\Bigr ]}-{\Bigl [}{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}{\Bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\Bigr )}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+Q_{j},}$

яке спрощується:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}.}$

Як видно з описаного нижче виведення, ніякої нової фізики не вводиться, тому рівняння Лагранжа описують динаміку класичної системи еквівалентно законам Ньютона.

Виведення рівнянь Лагранжа з другого закону Ньютона й принципу д'Аламбера — Лагранжа

Сила й виконана робота (на частинці) Нехай маємо окрему частинку маси m із радіус-вектором r, що рухається під дією прикладеної консервативної сили F, яку можна виразити як градієнт від потенціалу ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}$: ${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } V.}$ Ця сила залишається незалежною від похідної третього та вищих порядків за r. Розглянемо віртуальне переміщення частинки ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$. Механічна робота, що була вироблена прикладеною силою F, дорівнює: ${\displaystyle \delta A=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$ З другого закону Ньютона: ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} .}$ Оскільки робота є величиною скалярною, ми можемо переписати це рівняння в термінах узагальнених координат і швидкостей. Ліва частина переписується так: ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } V\cdot \displaystyle \sum _{i}{\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}=-\displaystyle \sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}=-\displaystyle \sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.}$ Для правої частини, виконуючи заміну координат на узагальнені, маємо: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =m\sum _{j}\left[\sum _{i}{\ddot {r_{i}}}{\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right]\delta q_{j}.}$ Тепер, інтегруючи за частинами доданки під дужками по t, а потім диференціюючи по t: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int {\ddot {r_{i}}}{\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\partial r_{i} \over \partial q_{j}}{\dot {r}}_{i}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right){\dot {r}}_{i}\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {r}}_{i}{\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right)-{\dot {r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right),}$ можемо переписати суму так: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =m\sum _{j}\left[\sum _{i}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left({\dot {r_{i}}}{\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right)-{\dot {r_{i}}}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left({\partial r_{i} \over \partial q_{j}}\right)\right]\right]\delta q_{j}.}$ Враховуючи, що: ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}={\partial {\dot {r_{j}}} \over \partial q_{i}},\quad {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}={\partial {\dot {r_{j}}} \over \partial {\dot {q_{i}}}},}$ отримаємо: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =m\sum _{j}\left[\sum _{i}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left({\dot {r_{i}}}{\partial {\dot {r_{i}}} \over \partial {\dot {q_{j}}}}\right)-{\dot {r_{i}}}{\partial {\dot {r_{i}}} \over \partial q_{j}}\right]\right]\delta q_{j}.}$ Кінетична й потенціальна енергії Тепер, змінюючи порядок диференціювання, маємо: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =m\sum _{j}\left[\sum _{i}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial \over \partial {\dot {q_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{\dot {r_{i}}}^{2}\right)-{\partial \over \partial q_{j}}\left({\frac {1}{2}}{\dot {r_{i}}}^{2}\right)\right]\right]\delta q_{j}.}$ Далі, змінюємо порядок підсумовування: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{j}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial \over \partial {\dot {q_{j}}}}\left(\sum _{i}{\frac {1}{2}}m{\dot {r_{i}}}^{2}\right)-{\partial \over \partial q_{j}}\left(\sum _{i}{\frac {1}{2}}m{\dot {r_{i}}}^{2}\right)\right]\delta q_{j},}$ що можна записати таким чином: ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial T \over \partial {\dot {q_{i}}}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i},}$ де T — повна кінетична енергія системи. Використання принципа д'Аламбера — Лагранжа Рівняння для роботи записуємо так: ${\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} -\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {T} \over \partial {\dot {q_{i}}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.}$ Це виконується для будь-якого набору узагальнених переміщень ${\displaystyle \delta q_{i}}$, тому маємо: ${\displaystyle \left[{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {T} \over \partial {\dot {q_{i}}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0}$ для будь-якої узагальненої координати ${\displaystyle \delta q_{i}}$. Можемо далі спростити цей вираз, помітивши, що V є функцією лише r і t, а r залежить від узагальнених координат і t. Тому V не залежить від узагальнених швидкостей: ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {V} \over \partial {\dot {q_{i}}}}=0.}$ Тепер, якщо вставити цей результат до початкового рівняння та ввести лагранжіан ${\displaystyle L=T-V}$, легко отримати рівняння Лагранжа: ${\displaystyle {\partial {L} \over \partial q_{i}}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {q_{i}}}}.}$

Якщо взяти ${\displaystyle q_{i}=r_{i}}$ (тобто, в ролі узагальнених координат виступають декартові координати), то легко побачити, що рівняння Лагранжа зводяться в такому випадку до другого закону Ньютона.

У більш загальному випадку сили можуть бути як потенціальними, так і дисипативними. Якщо відповідне перетворення можна знайти з F_i, то можна ввести дисипативну функцію D за Релеєм у такому вигляді[4]:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},}$

де ${\displaystyle C_{jk}}$ — константи, що пов'язані з коефіцієнтами затухання, але необов'язково їм дорівнюють.

Якщо D визначена таким чином, то:

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}},}$

тому:

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\Bigr )}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}$

У випадку класичного одновимірного механічного осцилятора (без тертя) функція Лагранжа має такий вигляд:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}},t)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

${\displaystyle k-}$ коефіцієнт пружності.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial L}{\partial x}}=m{\ddot {x}}+kx=0}$

тобто такий самий, що й у випадку стандартиного підходу без використання функції Лагранжа.

У випадку класичного електричного осцилятора (без втрат) функція Лагранжа має такий вигляд:

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}L_{0}{\dot {q}}^{2}-{\frac {1}{2C_{0}}}q^{2}}$

${\displaystyle L_{0}-}$ індуктивність та ${\displaystyle C_{0}-}$ ємність, LC-контуру, а ${\displaystyle q-}$ електричний заряд.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=L_{0}{\ddot {q}}+{\frac {1}{C_{0}}}q=0}$

тобто такий самий, що й у випадку підходу, що не використовує функцію Лагранжа.

Функція Лагранжа у випадку релятивістського руху вільної частинки з масою ${\displaystyle m}$ має вигляд:

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

де ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, а ${\displaystyle v}$ — швидкість частинки.