Метод Бокса — Вілсона

Метод крутого сходження, або метод Бокса — Вілсона, поєднує істотні елементи методу Гаусса — Зейделя і градієнтного методу з методами ПФЕ або ДФЕ. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки ${\displaystyle x_{k}}$ здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по grad ${\displaystyle y({\vec {x}}_{k})}$, проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$ на даному напрямі часткового екстремуму цільової функції (рис. 1), аналогічно методу Гаусса — Зейделя.

Важливою особливістю методу Бокса — Вілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму. Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий:

1) провадиться повний або дробовий факторний експеримент з центром у вихідній точці ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$для визначення grad ${\displaystyle y({\vec {x}}_{0})}$. Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:

а) перевірку відтворюваності експерименту;

б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів ${\displaystyle b_{i}}$ лінійної моделі об'єкта;

в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі

${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}x_{1}+...+b_{n}x_{n}}$

досліджуваному об'єктові.

2) обчислюються добутки ${\displaystyle b_{i}\triangle x_{i},}$ де ${\displaystyle \triangle x_{i}}$ — крок варіювання параметра ${\displaystyle x_{i}}$ при проведенні ПФЕ, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий

${\displaystyle max(b_{i}\triangle x_{i})=b_{\sigma }\triangle x_{\sigma }}$;

3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні ${\displaystyle \rho }$, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;

4) визначаються розміри ${\displaystyle \rho _{i}}$ за рештою змінних процесу ${\displaystyle x_{j}(j\neq i)}$. Оскільки під час руху градієнтом варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам ${\displaystyle b_{j}={\triangle y \over \triangle {x_{j}}}}$, які є компонентами вектора grad у(х), то відповідні ${\displaystyle \rho _{i}}$ знаходяться за формулою

${\displaystyle \rho _{i}={{b_{j}\triangle x_{j}} \over {\left|b_{\sigma }\triangle x_{\sigma }\right|}}}$,

де ${\displaystyle \rho }$ і ${\displaystyle \triangle x_{i}}$ завжди додатні, а коефіцієнт ${\displaystyle b_{i}}$ береться зі своїм знаком;

5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу ${\displaystyle y_{zav,k}({\vec {x}}_{k})}$у певних точках ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$ факторного простору (див. рис. 1). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням ${\displaystyle b_{i}={{\triangle y} \over {\triangle x_{i}}}}$ таким чином, щоб зображуюча точка ${\displaystyle {\vec {x}}}$ виконувала кроковий рух у напрямі вектора grad ${\displaystyle ({\vec {x}}_{1})}$, утвореного в п. 1, займаючи послідовно положення

${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},...,{\vec {x}}_{k},...,{\vec {x}}_{m}}$.

Очевидно, що j-та координата k-ї точки визначається так:

${\displaystyle x_{k,j}=x_{1,j}+k_{\rho ,j},j=1,2,...,n}$.

Тоді

${\displaystyle y_{zav,k}=b_{0}+k\sum _{j=1}^{n}b_{j}\rho _{j},k=1,2,...,m.}$

Зробимо підстановку

${\displaystyle y_{zav,k}=ky_{zav,1}-(k-1)b_{0},k=1,2,...,m.}$

або ще зручніше

${\displaystyle y_{zav,k}=y_{zav,k-1}+(y_{zav,1}-b_{0}),k=1,2,...,m.}$

6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність

${\displaystyle y_{zav,k}\leq (1..2)y_{max},}$

де ${\displaystyle y_{max}}$ — максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;

7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2-3 уявних кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережені значення ${\displaystyle y_{exp}}$ порівнюються із завбаченими ${\displaystyle y_{zav}}$ (див. рис. 1);

8) точка ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;

9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу точку до області екстремуму ${\displaystyle y({\vec {x}})}$, де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу ${\displaystyle \rho }$ береться рівним або меншим попереднього;

10) пошук припиняється, коли всі коефіцієнти ${\displaystyle b_{i}(i=1,2,...,n)}$ лінійної моделі об'єкта виходять незначущими. Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.

• Планування експерименту
• Еволюційне планування експериментів

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — ISBN 57740-0828-2.
• Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, 1993. — 375 с.