Модель Пламмера

Тривимірний профіль густини в моделі Пламмера має вигляд

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}$

де ${\displaystyle M_{0}}$ — повна маса модельованого об'єкта, a — так званий радіус Пламмера, масштабний параметр, який встановлює характерний розмір ядра системи. Відповідний потенціал має вигляд

${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$

де G позначає гравітаційну сталу. Дисперсія швидкостей становить

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$

Функція розподілу має вигляд

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$

якщо ${\displaystyle E<0}$, і ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ в іншому випадку. тут ${\displaystyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$ показує енергію в розрахунку на одиницю маси.

Маса всередині сфери радіуса ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$

Багато властивостей моделі Пламмера описано в статті Хервіга Дейонге[2].

Радіус ядра ${\displaystyle r_{c}}$, на якому густина падає до половини значення в центрі, дорівнює ${\displaystyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$.

Радіус, всередині якого міститься половина маси, ${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

Віріальний радіус становить ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$ .

Двовимірна поверхнева густина дорівнює

${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}}$ ,

отже, двовимірний профіль розподілу маси:

${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}}$.

В астрономії буває необхідно визначати також радіус, всередині якого міститься половина маси в рамках двовимірного розподілу ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$.

Для моделі Пламмера ${\displaystyle R_{1/2}=a}$.

Радіальні точки повороту орбіти характеризуються питомою енергією ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ і питомим кутовим моментом ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$, відповідні значення відстаней можна знайти як корені кубічного рівняння

${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$

де ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$, тому ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$. Це рівняння має три дійсних корені ${\displaystyle R}$ : Два додатних і один від'ємний, при ${\displaystyle L<L_{c}(E)}$, де ${\displaystyle L_{c}(E)}$ є питомим кутовим моментом для кругової орбіти з тією ж енергією. ${\displaystyle L_{c}}$ можна обчислити на основі єдиного дійсного кореня дискримінанту кубічного рівняння, який сам по собі є кубічним рівнянням

${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$

де підкреслені параметри є безрозмірними в одиницях Енона, визначених у вигляді ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$, ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$ і ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$.

Модель Пламмера дозволяє подати спостережувані профілі густини зоряних скупчень, хоча швидке зниження густини на великих відстанях (${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$) погано описується цим способом.

Поведінка густини поблизу центру системи не відповідає спостережуваним характеристикам еліптичних галактик, у яких густина до центру зростає сильніше.

Простота, з якою можна застосувати модель Пламмера в методі Монте-Карло, зробила модель Пламмера дуже популярною в рамках моделювання задачі N тіл, попри недостатній реалізм моделі[3].