Гравітаційна задача N тіл

У порожнечі містяться N матеріальних точок, маси яких відомі {m_i}. Нехай попарна взаємодія точок підкоряється закону тяжіння Ньютона, і нехай сили гравітації адитивні. Нехай відомі початкові на момент часу t=0 положення і швидкості кожної точки r_i|_{t =0} = r_{i 0}, v_i|_{t =0} = v_i0. Потрібно знайти положення точок для всіх наступних моментів часу.

Еволюція системи N гравітувальних тіл (матеріальних точок) описується такою системою рівнянь:

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {r} }_{i}}{dt}}={\mathbf {v} }_{i},}$

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {v} }_{i}}{dt}}=\sum \limits _{j\neq i}^{N}G\,m_{j}\,{\frac {{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}}{\left|{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}\right|^{3}}},}$

де ${\displaystyle m_{i},\,{\mathbf {r} }_{i},\,{\mathbf {v} }_{i}}$ — маса, радіус-вектор і швидкість i-го тіла відповідно (i змінюється від 1 до N), G — гравітаційна стала. Маси тіл, а також положення і швидкості в початковий момент часу вважаються відомими. Необхідно знайти положення і швидкості всіх частинок у довільний момент часу.

Траєкторії двох тіл різної маси, що перебувають у гравітаційній взаємодії

Приблизні траєкторії трьох однакових тіл, які перебували у вершинах нерівнобедреного трикутника і мали нульові початкові швидкості

Випадок відокремленої точки ${\displaystyle N=1}$ не є предметом розгляду гравітаційної динаміки. Поведінку такої точки описує перший закон Ньютона. Гравітаційна взаємодія — це принаймні парний акт.

Розв'язком задачі двох тіл ${\displaystyle N=2}$ є барицентрична орбіта (не плутати з центральною орбітою Кеплера). Відповідно до постановки, розв'язання задачі двох тіл нечутливе до нумерації точок і співвідношення їхніх мас. Орбіта Кеплера виникає граничним переходом ${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\rightarrow 0}$. При цьому втрачається рівноправність точок: ${\displaystyle m_{2}}$ приймається абсолютно нерухомим центром тяжіння, а перша точка «втрачає» масу, — параметр ${\displaystyle m_{1}}$ випадає з динамічних рівнянь. Система рівнянь вироджується, оскільки кількість рівнянь і параметрів зменшується вдвічі. Тому зворотна асимптотика стає неможливою: із законів Кеплера не випливає закон тяжіння Ньютона (у законах Кеплера маси взагалі не згадуються).

Для задачі трьох тіл 1912 року Карл Зундман отримав загальний аналітичний розв'язок у вигляді рядів. Хоча ці ряди й збігаються для будь-якого моменту часу і за будь-яких початкових умов, але збігаються вони вкрай повільно[1]. Через таку повільну збіжність практичне використання рядів Зундмана неможливе[2].

Для задачі трьох тіл Генріх Брунс і Анрі Пуанкаре показали, що її загальний розв'язок не можна виразити через алгебричні або через однозначні трансцендентні функції координат і швидкостей[2]. Відомо лише 5 точних розв'язків задачі трьох тіл для особливих початкових швидкостей та координат об'єктів.

На даний момент у загальному вигляді задачу ${\displaystyle N}$ тіл для ${\displaystyle N>3}$ можна розв'язати тільки чисельно.

З появою комп'ютерної техніки з'явилася реальна можливість вивчати властивості систем гравітувальних тіл, чисельно розв'язуючи системи рівнянь руху. Для цього використовують, наприклад, метод Рунге — Кутти (четвертого або вищого порядку).

Чисельні методи зіштовхуються з тими ж проблемами, що й аналітичні. Для «прямого» інтегрування кількість обчислень сили для кожного кроку зростає з ростом кількості тіл приблизно як ${\displaystyle N^{2}}$, що робить практично неможливим моделювання систем, що складаються з десятків і сотень тисяч тіл. Крім того за тісних зближень тіл необхідно зменшувати крок інтегрування, але тоді швидко накопичуються похибки.

Для вирішення цієї проблеми застосовують такі алгоритми (або їх комбінації):

• Схема Ахмада — Коена — пропонує розділити силу, що діє на кожне тіло, на 2 частини — іррегулярну (від близьких тіл — «сусідів») і регулярну (від віддалених тіл). Відповідно, регулярну силу можна переобчислювати зі значно більшим кроком, ніж іррегулярну.
• Алгоритм Барнса-Хата («деревний алгоритм», англ. Treecode) — реалізований Джошуа Барнесом[3].

Попри позірну простоту формул, розв'язку у вигляді кінцевих аналітичних виразів для даної задачі в загальному вигляді ${\displaystyle N\geq 3}$ не існує. Як показав Генріх Брунс, задача багатьох тіл має тільки 10 незалежних алгебричних інтегралів руху, знайдених у XVIII столітті, яких недостатньо для інтегрування задачі трьох і більше тіл[4][5]. Свої узагальнення цієї теореми запропонували Пенлеве і Пуанкаре. Пенлеве вдалося відмовитися від вимоги алгебричності залежності від координат, Пуанкаре ж висловив гіпотезу про те, що не існує нового однозначного інтеграла (всі класичні інтеграли, крім інтеграла енергії, є однозначними функціями). Це останнє твердження досі не доведено в настільки загальному формулюванні.

У 1971 році В. М. Алєксєєв так прокоментував відповідний пасаж «Небесної механіки» Пуанкаре[6]:

Неіснування однозначного аналітичного інтеграла в задачі трьох тіл досі не доведено з повною строгістю... Перше акуратне доведення неінтегровності гамільтонової системи досить загального вигляду належить Зігелю[7]. Цікаво відзначити, що неаналітичні інтеграли в розглянутих задачах можливі; їх існування випливає з однієї теореми Колмогорова[8][9]. Навпаки, в разі, коли число змінних більше від двох, найімовірніше, неможливий навіть неперервний інтеграл[10].

• MilkyWay@home
• Взаємодія багатьох тіл
• Gravity Pipe
• Модель Пламмера

• James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.

• Java-аплет, що візуалізує деякі часткові випадки задачі
• Паралельна GPU реалізація розв'язання задачі N тіл з обходом дерева частинок без використання стека