Незалежність випадкових величин

Означення Дискретні випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільних множин :

Альтернативне означення Нехай дано сімейство випадкових величин , отже . Тоді ці випадкові величини попарно незалежні, якщо попарно незалежні породжені ними σ-алгебри . Випадкові величини незалежні в сукупності, якщо такі породжені ними σ-алгебри.

Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини незалежні тоді і лише тоді, коли:

  • Для будь-яких ,
;
  • Для будь-яких борелівських функцій випадкові величини незалежними;
  • Для будь-яких обмежених борелівських функцій
;

Властивості незалежних випадкових величин

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо та - незалежні випадкові величини, а - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень та відповідно, то та - незалежні випадкові величини.

  • Нехай - розподіл випадкового вектора , - розподіл і - розподіл . Тоді незалежними тоді і лише тоді, коли
,

де позначає (прямий) добуток мір;

  • Нехай - кумулятивні функції розподілу відповідно. Тоді незалежні тоді і лише тоді, коли
;
  • Нехай випадкові величини дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
.
  • Нехай випадкові величини спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність . Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
,

де - щільність випадкових величин і відповідно.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.