Нерівність Бесселя

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента ${\displaystyle x}$ у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай ${\displaystyle H}$ — гільбертів простір, і ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ — ортонормована послідовність елементів ${\displaystyle H}$. Тоді для довільного ${\displaystyle x\in H}$ виконується нерівність:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі ${\displaystyle H}$. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

що виконується для довільного ${\displaystyle n\geq 1}$.