Гільбертів простір

Гільбертовим простором називається[1][2] векторний простір ${\displaystyle H}$над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):H\times H\to \mathbb {R} }$(або ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

1. ${\displaystyle (x,x)\geq 0}$ для кожного ${\displaystyle x\in H}$
2. ${\displaystyle (x,x)=0}$ тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle x=0}$
3. ${\displaystyle (x+y,z)=(x,z)+(y,z)}$ для довільних трьох ${\displaystyle x,y,z\in H}$
4. ${\displaystyle (\alpha x,y)=\alpha (x,y)}$, де ${\displaystyle x,y\in H}$, ${\displaystyle \alpha }$ - елемент скалярного поля. (${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$ )
5. ${\displaystyle (x,y)={\overline {(y,x)}}\ x,y\in H}$
6. Для довільної послідовності ${\displaystyle x_{n}\in H,\ n=1,2,\ldots ,}$, для якої виконано (умова фундаментальності)

${\displaystyle \lim _{l,k\to \infty }(x_{l}-x_{k},x_{l}-x_{k})=0}$,

знайдеться елемент ${\displaystyle x\in H}$, що для нього

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}-x,x_{n}-x)=0}$.

Тоді кажуть, що ${\displaystyle x}$ є границею послідовності ${\displaystyle x_{n}}$.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: ${\displaystyle (x,y)=(y,x)}$.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось ${\displaystyle dimH=\infty }$, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}}$ (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}}$.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ так і ермітового простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення ${\displaystyle \ L:H_{1}\to H_{2}}$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів ${\displaystyle u,v\in H_{1},}$ виконується рівність ${\displaystyle (L(u),L(v))=(u,v).}$ За допомогою тотожності паралелограма,

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})}$

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; ${\displaystyle x,y\in H}$ - довільні) доводиться, що ${\displaystyle L}$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто ${\displaystyle \|L(v)\|=\|v\|}$ для будь-якого ${\displaystyle v\in H_{1}.}$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

1. Простір ${\displaystyle l^{2},}$ що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots ),\quad \|\mathbf {x} \|^{2}=\sum _{n\geq 1}|x_{n}|^{2}<\infty ,}$

із ермітовим скалярним добутком

${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{n\geq 1}x_{n}{\overline {y_{n}}}}$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<\infty ,}$ тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших ${\displaystyle n}$ членів послідовностей ${\displaystyle \mathbf {x} }$ і ${\displaystyle \mathbf {y} .}$ Отож, отримуємо, що

${\displaystyle |(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq \|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|.}$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір ${\displaystyle l^{2}}$ — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$:

${\displaystyle (f,g)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx.}$

У будь-якому гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$ можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в ${\displaystyle H.}$

Система векторів ${\displaystyle \{u_{i}:i\in I\}}$ гільбертового простору ${\displaystyle H,}$ що індексується множиною ${\displaystyle I,}$ називається ортогональною, якщо ${\displaystyle (u_{i},u_{j})=0}$ для будь-яких ${\displaystyle i\neq j\in I}$ і ортонормальною, якщо додатково ${\displaystyle (u_{i},u_{i})=1}$ для будь-якого ${\displaystyle i\in I.}$

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у ${\displaystyle H.}$

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору ${\displaystyle H}$ називається ортонормальним базисом у ${\displaystyle H.}$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора ${\displaystyle w\in H}$ відносно даного ортонормального базису — це скаляри ${\displaystyle a_{i}=(u_{i},w),i\in I.}$ Вектор ${\displaystyle w}$ повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

${\displaystyle w=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}=\sum _{i\in I}(u_{i},w)u_{i}.}$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченновимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \},}$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір ${\displaystyle H}$ стає ізоморфним до ${\displaystyle l^{2}.}$

Дійсно, розгляньмо відображення

${\displaystyle L:H\to l^{2},\quad L(v)=\{(v,u_{n}):n=1,2,\ldots \},}$

яке будь-якому вектору ${\displaystyle v\in H}$ ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису ${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}.}$ Тоді ${\displaystyle L}$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом ${\displaystyle l^{2}.}$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Припустимо, що ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},\ldots \}}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі ${\displaystyle H.}$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів ${\displaystyle v\in H:}$

${\displaystyle \sum |(u_{i},v)|^{2}=(v,v),}$

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

${\displaystyle 2a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx,\quad }$ де

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,\quad n\geq 1}$ — коефіцієнти Фур'є дійсної функції ${\displaystyle f(x),-\pi \leq x\leq \pi .}$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції ${\displaystyle \{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),n\in \mathbb {Z} \}}$ утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].}$

• Банахів простір
• Теорема Ріса

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Наука, 1967. — 416 с.
• Иосида К. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967. — 624 с.