Ознака д'Аламбера

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів:

Якщо для числового ряду

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

існує таке число $q$ , $0<q<1$ , що починаючи з деякого номера виконується нерівність

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q,

то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1,

то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо $\rho <1$ , а якщо $\rho >1$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі).

Приклади

1. Ряд

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}

абсолютно збіжний для всіх комплексних $z$ , бо

\lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,

2. Ряд

\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}

розбігається при всіх $z\not =0$ , бо

\lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .

3. Якщо $\rho =1$ , то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}

і

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Ознака встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році.

Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.