Радикальна ознака Коші

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1}$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

1. Нехай ${\displaystyle l<1}$. Очевидно, що існує таке ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що ${\displaystyle l+\varepsilon <1}$. Оскільки існує границя ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l}$, то підставивши в означення границі вибране ${\displaystyle \varepsilon }$ одержимо:

${\displaystyle \vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon }$

Розкривши модуль, одержимо:

${\displaystyle -\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon }$

${\displaystyle l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon }$

${\displaystyle (l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}}$

Оскільки ${\displaystyle l+\varepsilon <1}$, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(l+\varepsilon )^{n}}$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ теж збігається.

2. Нехай ${\displaystyle l>1}$. Очевидно, що існує таке ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що ${\displaystyle l-\varepsilon >1}$. Оскільки існує границя ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l}$, то підставивши в означення границі вибране ${\displaystyle \varepsilon }$ одержимо:

${\displaystyle \vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon }$

Розкривши модуль, одержимо:

${\displaystyle -\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon }$

${\displaystyle l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon }$

${\displaystyle (l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}}$

Оскільки ${\displaystyle l-\varepsilon >1}$, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(l-\varepsilon )^{n}}$ розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ теж розбіжний.

1. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}}$

2. Розглянемо ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n(n-1)}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n-1}=\lim _{n\to \infty }{(1-{\frac {2}{n+1}})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow }$ряд збіжний

• Інтегральна ознака Коші — Маклорена
• Ознака д'Аламбера