Парадокс Монті Голла

Найрозповсюдженіше формулювання задачі, на жаль, не зовсім правильне, оскільки залишає невизначеними декілька істотних умов. Повніше і точніше формулювання задачі звучить приблизно так:

Уявіть собі, що ви берете участь у грі, в якій ви знаходитесь перед трьома дверима. Ведучий, про якого відомо, що він чесний, помістив за одними з дверей автомобіль, а за двома іншими — по козі. У вас немає ніякої інформації про те, за якими дверима що знаходиться. Ведучий каже вам: «Спочатку ви маєте обрати одні з дверей. Після цього я відкрию одні з дверей, які залишилися, за якими знаходиться коза. Потім я запропоную вам змінити свій початковий вибір і вибрати інші зачинені двері замість тих, що ви вибрали спочатку. Ви можете зробити як я раджу, або підтвердити свій початковий вибір. Після вашого остаточного рішення я відкрию двері, які ви вибрали, і ви виграєте те, що знаходиться за цими дверима.»

Ви обираєте двері номер 1. Ведучий відчиняє двері номер 3 і показує, що за ними знаходиться коза. Після цього ведучий пропонує вам обрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви послухаєте його?

В даній задачі вважається, що відкриття ведучим дверей з козою не несе ніякої інформації про те, що знаходиться за дверима, які спочатку обрав гравець. Найпростіший спосіб досягти цього — зажадати, щоб у випадку, коли автомобіль знаходиться за дверима, які обрав гравець, ведучий відчиняв одні з дверей, що залишились, випадковим чином.

Спочатку ймовірність того, що учасник потрапить на автомобіль, дорівнює 1/3. Після того, як ведучий відчиняє двері, більшість людей вважає, що вона має бути 1/2, але це не так. Ведучий знає, де знаходиться автівка, і тому не відчиняє двері з автомобілем. І ймовірність була б 1/2 тільки тоді, коли б ведучий не знав розташування призів, і тоді відкриття дверей нічого б не змінювало.

Найістотнішим доповненням тут є те, що гравець знає, що після його вибору ведучий в будь-якому випадку відкриє двері з козою і в будь-якому випадку запропонує гравцю змінити вибір, тобто вчинення даних дій не дає гравцю ніякої інформації про те, правильним чи ні був його вибір.

Обираючи двері, гравець має 1 шанс з 3, що автомобіль розташований за дверима, які він обрав, і 2 шанси з 3, що за одними з інших. Коли ведучий відчиняє двері з козою за ними, гравець не отримує ніякої нової інформації про свій вибір, тобто ймовірність перебування машини за обраними гравцем дверима залишається 1/3. Тоді ймовірність того, що машина є за іншими зачиненими дверима, становить 2/3.[1][2]Зміна вибору збільшує шанси вдвічі, тобто гравець має змінити вибір.[1][3][2][4][5]У порядку приведення популярної історії до суворого математичного розв'язку може виникнути запитання: «Чому ймовірність того, що автомобіль є за дверима 1, не змінюється при відчиненні дверей з козою?» Для початку покажемо, що від того, що ми вільно переномеруємо двері, зокрема, якщо ми поміняємо місцями номери 2 і 3. Справді, умовна ймовірність того, що машина була за дверима 1, при виборі гравцем дверей 1 і відчиненні ведучим дверей 2, така ж як і умовна ймовірність того, що машина була за дверима 1 при тому ж виборі гравця і відчиненні ведучим дверей 3. Середнє значення цих двох рівних ймовірностей 1/3, отже ймовірність кожної з них становить 1/3 також.

Розбір гри може бути реалізований у вигляді ілюстрації рівноймовірних виборів гравця: машини, кози А та кози Б[6]:

1. Ведучий відкриває одну з двох кіз Гравець обирає машину (ймовірність 1/3) Зміна рішення приводить до програшу. 2. Ведучий має відчинити козу Б Гравець обирає козу А (ймовірність 1/3) Зміна рішення приводить до виграшу. 3. Ведучий має відчинити козу А Гравець обирає козу Б (імовірність 1/3) Зміна рішення приводить до виграшу.

Гравець має однакові початкові шанси виграти машину, козу А або козу Б. Зміна вибору змінює результат на виграшний в 2/3 випадків.

Попередня діаграма показує, що гравець, який змінює рішення, завжди отримує результат, відмінний від його початкового вибору, і, виходячи з того, що ймовірність одразу обрати машину вдвічі менша за ймовірність обрати козу, змінити рішення завжди вигідно. Інакше кажучи, ймовірність одразу обрати козу — 2/3, а машину — 1/3. Після того, як ведучий відкриває двері з козою, гравець, який обрав двері з козою перед цим, обов'язково виграє машину, а гравець, який спочатку обрав машину, обов'язково виграє козу. Таким чином, саме зміна рішення є слушною стратегією.

Вибір гравця має 1/3 шансу, а інші двоє дверей мають 2/3 шансу.

Вибір гравця має 1/3 шансу, а інші двоє дверей мають 2/3 шансу, ці 2/3 розділені як 2/3 для зачинених дверей і 0 для дверей, які відкрив ведучий.

Інший шлях для розуміння розв'язку — розглядати двоє невибраних дверей разом.[7][8][9][10].

Як вказує Сесіл Адамс[7], «Ефект пропозиції ведучого такий: ви можете залишити свої двері, а можете обрати двоє інших». Гравець мусить вирішувати, чи залишатися з початковим вибором, чи обрати суму того, що знаходиться за іншими дверима. Ймовірність того, що автівка схована за одними з інших дверей, не змінюється від того, що одні з них відкрили, і дорівнює 2/3.

Як говорить Кейф Девлін[8], «По відчиненні своїх дверей ведучий каже гравцю 'Ось двоє дверей, які ви не обрали, і ймовірність того, що приз за одними з них — 2/3. Я допоміг вам, відкривши одні з них, і ви могли побачити, що приз там не сховано. Тепер ви можете скористатися цією інформацією. Ваш вибір дверей 1 має шанс на виграш 1 з 3. Я не змінив це. Але тим, що я відкрив двері 3, я показав вам, що ймовірність того, що приз за останніми дверима — 2 з 3.'»

Задачу можна розв'язати використавши теорему Баєса. Введемо наступні випадкові величини:

${\displaystyle C\in \{1,2,3\}}$: двері, за якими схована машина,

${\displaystyle S\in \{1,2,3\}}$: номер дверей, обраних гравцем, і

${\displaystyle H\in \{1,2,3\}}$: номер дверей, відкритих ведучим.

Через те, що розташування машини довільне, усі значення C однаково ймовірні. Тоді початкова (безумовна) ймовірність C

${\displaystyle P(C)\,={\tfrac {1}{3}}}$, для будь-якого C.

Далі, через те, що вибір гравця ніяк не залежить від розташування машини, змінні C і S незалежні. Таким чином умовна ймовірність C при даному S становить

${\displaystyle P(C|S)\,=P(C)}$, для кожного C та S.

Поведінка ведучого визначається значенням умовної ймовірності H при даних C та S:

${\displaystyle P(H|C,S)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}}}$	${\displaystyle \,0\,}$		if H = S, (ведучий не може відкрити двері, обрані гравцем)
	${\displaystyle \,0\,}$		if H = C, (ведучий не може обрати двері з машиною позаду)
	${\displaystyle \,1/2\,}$		if S = C, (обидві двері без машини можуть бути відкриті з однаковою йомовірністю)
	${\displaystyle \,1\,}$		if H ${\displaystyle \neq }$C and S ${\displaystyle \neq }$ C, (тільки одні двері можуть бути відкриті)

Гравець може використати правило Баєса для підрахунку ймовірності знаходження машини за будь-якими дверима, після його початкового вибору і відкриття дверей ведучим. Це є умовна ймовірність C при даних H і S:

${\displaystyle P(C|H,S)\,={\frac {P(H|C,S)P(C|S)}{P(H|S)}}}$,

де знаменник обчислюється як безумовна ймовірність

${\displaystyle P(H|S)\,=\sum _{C=1}^{3}P(H,C|S)=\sum _{C=1}^{3}P(H|C,S)P(C|S)}$.

Таким чином, якщо гравець початково обирає двері 1, і ведучий відкриває двері 3, ймовірність, що автомобіль за дверима 2, при зміні вибору становить

${\displaystyle P(C=2|S=1,H=3)={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.}$