Випадкова величина

• Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна ${\displaystyle X\,}$, «значення» якої ${\displaystyle x=X\,}$ утворюють множину ${\displaystyle \left\{x=X\right\}}$ елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини ${\displaystyle X\,}$[3].

Множина ${\displaystyle \left\{x=X\right\}}$ елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини ${\displaystyle X\,}$, називається областю значень цієї величини.

Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$, тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деяким дійсним числом. Більш формально:

${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ називається випадковою величиною, якщо ${\displaystyle \forall A\subset {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\ \ X^{-1}(A)\subset {\mathcal {F}}}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — ${\displaystyle \sigma }$-алгебра Борелевих множин на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Нехай x₁, x₂, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення x_j може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = x_j. Ймовірність цієї події позначається ${\displaystyle P\{\mathbf {X} =x_{j}\}}$. Система рівнянь:

${\displaystyle P\{\mathbf {X} =x_{j}\}=f(x_{j})}$

визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.

Очевидно, що:

${\displaystyle f(x_{j})\geq 0}$ та ${\displaystyle \sum f(x_{j})=1}$.

Якщо дві або більше випадкових величини X₁, X₂, …, X_n визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}=x_{j_{1}}}$, ${\displaystyle \mathbf {X} _{2}=x_{j_{2}}}$ і т. д. призначаються визначені ймовірності.

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень ${\displaystyle x_{j_{1}}}$, ${\displaystyle x_{j_{2}}}$, …, ${\displaystyle x_{j_{n}}}$ виконується рівність:

${\displaystyle P\{\mathbf {X} _{1}=x_{j_{1}},\mathbf {X} _{2}=x_{j_{2}},\dots ,\mathbf {X} _{n}=x_{j_{n}}\}=P\{\mathbf {X} _{1}=x_{j_{1}}\}P\{\mathbf {X} _{2}=x_{j_{2}}\}\dots P\{\mathbf {X} _{n}=x_{j_{n}}\}}$

Тобто, якщо X_k залежить лише від k-го випробування, то випадкові величини X₁, X₂, …, X_n взаємно незалежні.

• Ймовірність випадкової величини ${\displaystyle X\,}$ дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень:

${\displaystyle P(X)=P(x_{min}<X<x_{max})=P(z_{1}<Z<z_{2})={\frac {1}{2\pi }}\int _{z_{1}}^{z_{2}}e^{-{z^{2}}/{2}}dz}$

де

${\displaystyle z_{1}={\frac {x_{min}-\mu }{\sigma }}}$; ${\displaystyle z_{2}={\frac {x_{max}-\mu }{\sigma }}}$ — граничні значення нормованої величини ${\displaystyle Z}$;

${\displaystyle \mu }$ — це середнє значення величини ${\displaystyle X\,}$;

${\displaystyle \sigma }$ — стандартне відхилення цієї величини.