Переріз множини дійсних чисел

Дві множини ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ,B\subset \mathbb {R} }$ називаються перерізом множини дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, якщо:

1. Об'єднання ${\displaystyle A}$ з ${\displaystyle B}$ складає всю множину дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A\cup B=\mathbb {R} }$.
2. Кожна з множин ${\displaystyle A,B}$ не порожня, ${\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }$.
3. Кожне число множини ${\displaystyle A}$ менше будь-якого числа множини ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle a\in A,b\in B\Rightarrow a<b}$

Переріз утворений множинами ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ позначається ${\displaystyle A|B}$, а ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ називаються відповідно нижнім і верхнім класом перерізу.

Властивість 1 означає що кожне дійсне число належить принаймні одному з класів.

Із властивості 3 випливає що множини ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ не перетинаються.