Послідовність Люка

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

• ${\displaystyle \{U_{n}(1,-1)\}}$ - числа Фібоначчі
• ${\displaystyle \{V_{n}(1,-1)\}}$ - числа Люка
• ${\displaystyle \{U_{n}(2,-1)\}}$ - числа Пелля
• ${\displaystyle \{V_{n}(2,-1)\}}$ - числа Пелля-Люка
• ${\displaystyle \{U_{n}(3,2)\}}$ - числа Мерсенна
• ${\displaystyle \{U_{n}(1,-2)\}}$ - числа Якобсталя

Характеристичним многочленом послідовностей Люка ${\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}$ та ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$ є:

${\displaystyle x^{2}-P\cdot x+Q}$

Його дискримінант ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$ вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

${\displaystyle \alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}$

можна використовувати для отримання явних формул:

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}}$

та

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.~}$

…