Лінійна рекурентна послідовність

Лінійною рекурентною послідовністю (лінійною рекурентою) називається будь-яка числова послідовність $x_{0},x_{1},\dots$ , задана лінійним рекурентним співвідношенням:

x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{n-d}

для всіх

n\geqslant d

з заданими початковими членами $x_{0},\dots ,x_{d-1}$ , де d — фіксоване натуральне число, $a_{1},\dots ,a_{d}$ — задані числові коефіцієнти, $a_{d}\neq 0$ . При цьому число d називається порядком послідовності.

Лінійні рекурентні послідовності іноді називають поворотними послідовностями.

Теорія лінійних рекурентних послідовностей є точним аналогом теорії лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Приклади

Частковими випадками лінійних рекурентних послідовностей є послідовності:

Формула загального члена

Для лінійних рекурентних послідовностей існує формула, яка виражає загальний член послідовності через корені її характеристичного многочлена

\lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}.

А саме, загальний член виражається у вигляді лінійної комбінації $d$ послідовностей виду

x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},

де $\lambda _{k}$ — корінь характеристичного многочлена і $m$ — ціле невід'ємне число, що не перевищує кратності $\lambda _{k}$ .

Для чисел Фібоначчі такою формулою є формула Біне.

Приклад

Для знаходження формули загального члена послідовності $F_{n}$ , що задовольняє лінійне рекурентне рівняння другого порядку $F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2}$ з початковими значеннями $F_{1}$ , $F_{2}$ , слід розв'язати характеристичне рівняння

q^{2}-bq-c=0

.

Якщо рівняння має два різні корені $q_{1}$ і $q_{2}$ , відмінні від нуля, то для довільних сталих $A$ і $B$ , послідовність

F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},

задовольняє рекурентне співвідношення; залишається знайти числа $A$ і $B$ , такі, що

F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2}

і

F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}

.

Якщо ж дискримінант характеристичного рівняння дорівнює нулю і отже, рівняння має єдиний корінь $q_{1}$ , то для довільних сталих $A$ і $B$ , послідовність

F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n}

задовольняє рекурентне співвідношення; залишається знайти числа $A$ і $B$ , такі, що

F_{1}=(A+B)\cdot q_{1}

і

F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}

.

Зокрема, для послідовності, яка визначається таким лінійним рекурентним рівнянням другого порядку

F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}

;

F_{1}=1

,

F_{2}=-2

.

коренями характеристичного рівняння $q^{2}-5\cdot q+6=0$ є $q_{1}=2$ , $q_{2}=3$ . Тому

F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2}).

.

Остаточно:

F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}.

Застосування

Лінійні рекурентні послідовності над кільцями вирахувань традиційно використовуються для генерування псевдовипадкових чисел.

Історія

Основи теорії лінійних рекурентних послідовностей були дані в двадцятих роках вісімнадцятого століття Абрахамом де Муавром і Даніелем Бернуллі. Леонард Ейлер виклав її у тринадцятій главі свого «Вступу до аналізу нескінченно малих» (1748).[1] Пізніше Пафнутій Львович Чебишов і ще пізніше Олександр Олександрович Марков виклали цю теорію в своїх курсах числення cкінченних різниць.[2][3]

Див. також

Різницеве рівняння

Примітки

Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно-малых, т. I, M. — Л., 1936, стр. 197—218
П. Л. Чебышев, Теория вероятностей, лекции 1879—1880 гг., М. — Л., 1936, стр. 139—147
А. А. Марков, Исчисление конечных разностей, 2-е изд., Одесса, 1910, стр. 209—239

Література

А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. Глава XXV. Линейные рекуррентные последовательности // Алгебра. — Учебник. В 2-x томах. — М. : Гелиос АРВ, 2003. — Т. 2. — ISBN 8-85438-072-2.
А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
Чебраков Ю. В. Глава 2.7. Рекуррентные уравнения // Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. — СПб, 2010.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно-малых, т. I, M. — Л., 1936, стр. 197—218

[2] П. Л. Чебышев, Теория вероятностей, лекции 1879—1880 гг., М. — Л., 1936, стр. 139—147

[3] А. А. Марков, Исчисление конечных разностей, 2-е изд., Одесса, 1910, стр. 209—239