Потенціал Пешль — Теллера

Потенціал Пешль-Теллера задається у вигляді

${\displaystyle U(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

При підстановці потенціалу в одновимірне рівняння Шредінгера

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+U(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

за допомогою підстановки ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$ отримують

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

Розв'язком для зв'язаних станів ${\displaystyle \psi (\mathrm {tanh(x)} )}$ будуть функції Лежандра ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\mathrm {tanh(x)} )}$, та значення енергії ${\displaystyle E_{\lambda ,\mu }={\frac {-\mu ^{2}}{2}}}$, де ${\displaystyle \lambda =1,2,3,\ldots \,,\mu =\lambda ,\lambda -1,\ldots ,1}$. Більш того, можна точно обчислити і розсіювання частинки на такому потенціалі, тоді для енергій частинки ${\displaystyle E_{\lambda ,k}=-{\frac {k^{2}}{2}}}$ отримаємо аналітичні вирази для хвильових функцій. В тривіальному випадку для ${\displaystyle \lambda =0}$ отримуємо плоску хвилю ${\displaystyle \psi _{0,k}^{+}=\exp(ikx)}$.

Два наступні вирази для ${\displaystyle \lambda =1,2}$ запишуться як

${\displaystyle \psi _{1,k}^{+}=\left(1+{\frac {i}{k}}\tanh(x)\right)\exp(ikx)}$.

${\displaystyle \psi _{2,k}^{+}=\left(1+k^{2}\right)^{-1}\left(1+k^{2}+3ik\tanh(x)-3\tanh ^{2}(x)\right)\exp(ikx)}$.

Це відображає хвилі, що поширюються зліва направо. Дуже цікавою особливістю потенціалів Пешль-Теллера є те, що для цілих значень ${\displaystyle \lambda }$ хвильові функції не розсіюються на потенціальному бар'єрі, тобто ці потенціали в таких випадках є на 100 % прозорими: коефіцієнт проникнення ${\displaystyle T=1}$, a відбиття ${\displaystyle R=0}$.

Потенціал Морзе

• G. Pöschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des Anharmonischen Oszillators // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Bd. 83, Nr. 3-4. — S. 143–151. — DOI:10.1007/BF01331132.