Приклад Адамара

Приклад Адамара ілюструє можливість некоректної постановки класичної задачі Коші.

Розглянемо наступну задачу Коші для рівняння Лапласа:

${\displaystyle u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),~t>0}$;

${\displaystyle u\mid _{t=0}=0,~~u_{t}\mid _{t=0}={\frac {1}{k}}\sin {kx}}$.

Тоді нескладно показати, що розв'язком такого рівняння буде функція:

${\displaystyle u_{k}(x,t)={\frac {\operatorname {sh} \,kt}{k^{2}}}\sin {kx}}$.

При ${\displaystyle k\rightarrow +\infty }$ видно, що ${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightrightarrows 0}$ по ${\displaystyle x}$; звідси, розв'язок також повинен прямувати до нуля. Однак, у загальному випадку, коли ${\displaystyle x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\not \to 0,~k\rightarrow \infty }$. Тому, непервної залежності від початкових умов немає, і відповідно, задача поставлена некоректно.