Рівняння Лапласа

Циліндричні і прямокутні координати пов'язані так

${\displaystyle x=r\cos(\theta ),y=r\sin(\theta ),z=z.}$

Ми також можемо записати

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

і

${\displaystyle \theta =\tan ^{-}1\left({\frac {y}{x}}\right).}$

Припустимо, ${\displaystyle u(x,y,z)}$ є неперервною з неперервними першою і другою частковими похідними в деякій області ${\displaystyle R.}$ Ми також можемо думати про ${\displaystyle u}$, як про функцію від ${\displaystyle r,\theta ,z.}$ З ланцюгового правила і попередніх рівнянь, ми отримуємо

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}}$

${\displaystyle ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}}$

${\displaystyle ={\frac {x}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {y}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.}$

Тут ми скористались тим, що ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle z}$ незалежні, і записали ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=0.}$

Подібно

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {y}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {x}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.}$

Щоб обчислити другу похідну, диференціюємо далі відповідно щодо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y.}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x}{r}}\right)-{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {y}{r^{2}}}\right)+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {y}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right).}$

Зауважимо, що ${\displaystyle u'_{x\theta }=u'_{\theta x}.}$ Тоді, застосовуючи ланцюгове правило щодо двох останніх доданків, отримуємо

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=.}$