П'ятнадцятикутник

Площа правильного п'ятнадцятикутника зі стороною a задається формулою

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

Правильні трикутник, десятикутник, і п'ятнадцятикутник можуть повністю заповнити площину.

Правильний п'ятнадцятикутник не можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Однак, його можна побудувати за допомогою методу невсіса, якщо використовувати його разом з трисекцією кута, або з лінійкою з мітками як показано на наступних двох прикладах.

П'ятнадцятикутник в заданому колі:
Анімація (1м 47с) за допомогою методу невсіса побудови п'ятнадцятикутника в колі радіуса ${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$, спираючись на трисекцію кута за допомогою томагавка.

Приблизна конструкція п'ятнадцятикутника.