Резольвента алгебричного рівняння

Розглянемо кубічне рівняння

${\displaystyle \ x^{3}+px+q=0}$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді ${\displaystyle \ x=u+v.}$

Отримаємо рівняння

${\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$

Введемо додаткову умову для змінних ${\displaystyle \ 3uv+p=0,}$

В утвореній системі ${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}}$ розв'язки ${\displaystyle \ u^{3},v^{3}}$ знайдемо за теоремою Вієта з квадратного рівняння, яке буде резольвентою:

${\displaystyle y^{2}+qy+{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$

Розглянемо рівняння 4-го степеня:

${\displaystyle \,\!x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}$

Представимо його у вигляді добутку квадратных тричленів:

${\displaystyle \ (x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0}$

Перемножимо і прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях${\displaystyle \ x}$ . Отримаємо систему:

${\displaystyle {\begin{cases}q_{1}+q_{2}-p^{2}=a\\p(q_{2}-q_{1})=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}}$

З першого і третього отримаємо:

${\displaystyle \ (q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c}$

Підставимо в друге і отримаємо:

${\displaystyle \ p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2}}$

Провівши заміну ${\displaystyle \ y=-p^{2}}$, отримаємо кубічне рівняння відносно ${\displaystyle \ y}$, яке і буде резольвентою:

${\displaystyle \ y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0}$

Корені резольвенти можуть бути отримані за формулою Кардано.

Використаємо теорему Вієта для квадратних рівнянь, щоб пов'язати корені резольвенти ${\displaystyle \,\!y_{1},y_{2},y_{3}}$ з коренями вихідного рівняння ${\displaystyle \,\!x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (які нам треба знайти): Отримаємо одну із систем з 4 алгебричних рівнянь з 4 невідомими, яка легко розв'язується.

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{cases}}}$

або

${\displaystyle {\begin{cases}a-y_{1}=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\\a-y_{2}=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\\a-y_{3}=x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\\x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=c\\\end{cases}}}$

• Резольвента інтегрального рівняння