Рівняння Дена — Сомервіля

Рівняння Дена — Сомервіля повний набір лінійних співвідношень на кількість граней різних розмірностей у простого многогранника.

Формулювання

Для даного простого $n$ -вимірного многогранника $P$ позначимо через $f_{k}$ кількість граней $P$ розмірності $k$ , зокрема $f_{n}=1$ . Розглянемо формальну суму

\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}

тоді рівняння Дена — Сомервіля мають вигляд

h_{k}=h_{n-k}

для кожного цілого $k$ .

Зв'язані означення

Послідовність $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ називається f-вектор многогранника.
Послідовність $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ називається h-вектор многогранника.

Історія

У розмірностях 4 і 5, співвідношення були описані Деном[1]. В загальному випадку рівняння були описані Сомервілем в 1927.

Примітки

M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561–586

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561–586