Рівняння Фоккера — Планка

Рівня́ння Фо́ккера — Пла́нка — диференціальне рівняння в частинних похідних, що описує еволюцію функції розподілу[1] випадкової величини.

Розпливання функції розподілу з часом

Для одновимірної випадкової величини рівняння Фоккера-Планка має загальний вигляд

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\left[-{\frac {\partial }{\partial x}}D^{(1)}(x)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}D^{(2)}(x)\right]P}$,

де ${\displaystyle P(x,t)}$ — функція розподілу випадкової величини, ${\displaystyle D^{(1)}(x)}$ називається дрейфовим коефіцієнтом, а ${\displaystyle D^{(2)}(x)}$ — дифузійним коефіцієнтом.

Наприклад, у випадку броунівського руху вздовж прямої рівняння Фоккера-Планка для функції розподілу частинок за швидкостями має вигляд:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=-\gamma {\frac {\partial (vP)}{\partial v}}+\gamma {\frac {k_{B}T}{m}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial v^{2}}}}$,

де ${\displaystyle v}$ — швидкість броунівської частки, ${\displaystyle m}$ — її маса, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, T — температура, ${\displaystyle \gamma }$ — коефіцієнт в'язкості, розділений на масу частки.

Дифузійний і дрейфовий коефіцієнти можна отримати, розглядаючи відповідне рівняння Ланжевена.