Рівняння Ланжевена

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення ${\displaystyle \mathbf {a} }$ броунівської частинки з масою ${\displaystyle m}$, що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки ${\displaystyle \mathbf {v} }$ за законом Стокса, шумового члена ${\displaystyle \mathbf {\eta } (t)}$ (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )}$ — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

${\displaystyle m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )-\gamma \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}(t).}$

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {1}{B}}{\dot {x}}+F(t)}$

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

${\displaystyle \langle F(t)\rangle =0}$

${\displaystyle \langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})}$

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, ${\displaystyle \delta (t_{1}-t_{2})}$ — дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

${\displaystyle {\dot {v}}=-\lambda v+{\frac {F}{m}}}$

де ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{mB}}}$

Нехай в початковий момент часу ${\displaystyle t=t_{0}}$ частинка мала швидкість ${\displaystyle v_{0}}$. Будемо шукати розв'язки у вигляді: ${\displaystyle v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)}$, тоді для ${\displaystyle u(t)}$ отримаємо наступне диференціальне рівняння:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=\exp(\lambda t){\frac {F}{m}}}$

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m}}\exp(\lambda \tau )d\tau }$

З нього випливають два важливих співвідношення:

1. ${\displaystyle \langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)}$. Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
2. ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left(1-\exp(-2\lambda t)\right)}$.

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення ${\displaystyle {\frac {b}{2\lambda m^{2}}}}$.

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b=2{\frac {k_{B}T}{B}}}$

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

${\displaystyle {\frac {d\langle x^{2}(t)\rangle }{dt}}={\frac {2}{\lambda }}\langle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\rangle }$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ^{2}\rangle =6k_{B}TBt}$

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

${\displaystyle D=k_{B}TB}$

де B — рухливість броунівської частинки, а ${\displaystyle D}$ - коефіцієнт дифузії.

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
• Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
• Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y. : McGraw-Hill, 1965.