Рівняння кабестана

На кожному малому сегменті, що покриває кут ${\displaystyle d\theta ,}$ розтяг мотузки збільшується від ${\displaystyle T}$ до ${\displaystyle T+dT.}$ Тоді нормальна сила — це диференціал ${\displaystyle dN,}$ бо вона припадає на диференціал довжини. Сила тертя ${\displaystyle \mu dN,}$ і діє супротив сковзанню. Рівновага в напрямку ${\displaystyle x}$ вимагає, щоб сума всіх сил у цьому напрямку була нульовою,

${\displaystyle \sum F_{x}=0,}$

${\displaystyle T\cos {\frac {d\theta }{2}}+\mu (dN)-(T+dT)\cos {\frac {d\theta }{2}}=0,}$

якщо згадати що косинус кута близького до нуля є одиницею, то формула спрощується до

${\displaystyle \mu dN=dT.}$

Аналогічно за ${\displaystyle y}$ напрямком:

${\displaystyle dN-(T+dT)\sin {\frac {d\theta }{2}}+t\sin {\frac {d\theta }{2}}=0,}$

що спрощується до

${\displaystyle dN=Td\theta .}$

З рівнянь по ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ напрямках можна отримати:

${\displaystyle {\frac {dT}{T}}=\mu d\theta .}$

Інтегруючи від ${\displaystyle T_{1}}$ до ${\displaystyle T_{2}}$ отримуємо:

${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {dT}{T}}=\int _{0}^{\varphi }\mu d\theta ,}$

${\displaystyle \ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\mu \varphi ,}$

${\displaystyle T_{2}=T_{1}e^{\mu \varphi }.}$

• The Mechanics of Friction in Rope Rescue (англ.)