Різницева схема

Кажуть, що диференційний оператор ${\displaystyle L(u)}$, певний на функціях ${\displaystyle u}$, заданих в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{N}}$, апроксимується на деякому класі функцій ${\displaystyle u\in U}$ скінченно-різницевим оператором ${\displaystyle R_{h}(u_{h})}$, певним на функціях ${\displaystyle u_{h}}$, заданих на сітці, що залежить від кроку ${\displaystyle h}$, якщо виконується умова збіжності

${\displaystyle ||L(u)-R_{h}(u_{h})||\to 0,\ \ h\to 0\ \ \ (\forall u\in U).}$

Кажуть, що апроксимація має порядок точності ${\displaystyle k}$, якщо

${\displaystyle ||L(u)-R_{h}(u_{h})||\leq h^{k}M,\ \ h\to 0\ \ \ (\forall u\in U),}$

де ${\displaystyle M}$ - константа, що залежить від конкретної функції ${\displaystyle u\in U}$, але не залежить від кроку ${\displaystyle h}$. Норма, використана вище, може бути різною, і поняття апроксимації залежить від її вибору. Часто використовується дискретний аналог норми рівномірної неперервності:

${\displaystyle ||u_{h}||=\max _{n}|u_{h}(x_{n})|,}$

іноді використовуються дискретні аналоги інтегральних норм.

Приклад. Апроксимація оператора ${\displaystyle L(u)=u_{xx}}$ скінченно-різницевим оператором

${\displaystyle R_{h}(u_{h})(x_{n})={\frac {u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}}{h^{2}}},\quad u_{i}=u(x_{i}),\quad x_{i+1}=x_{i}+h,}$

на обмеженому інтервалі ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ має другий порядок точності на класі гладких функцій ${\displaystyle U=C^{4}(D)}$.

Скінченно-різницева задача апроксимує диференціальну задачу, і апроксимація має порядок точності ${\displaystyle k}$, якщо і саме диференціальне рівняння, і граничні (і початкові) умови апроксимуються відповідними скінченно-різницевими операторами з порядком точності не нижче ${\displaystyle k}$.

Приклад. Апроксимація рівняння теплопровідності ${\displaystyle u_{t}-u_{xx}=0}$ (різницева схема в часткових похідних) скінченно-різницевим рівнянням ${\displaystyle R_{h}(u_{h})=0}$, де

${\displaystyle R_{h}(u_{h})(t_{m},x_{n})={\frac {u_{n}^{m+1}-u_{n}^{m}}{\Delta t}}-{\frac {u_{n+1}^{m}-2u_{n}^{m}+u_{n-1}^{m}}{h^{2}}},}$

${\displaystyle u_{j}^{i}=u(t_{i},x_{j}),\quad t_{i+1}=t_{i}+\Delta t,\quad x_{j+1}=x_{j}+h,\quad \Delta t=\sigma h^{2},\quad \sigma =const>0,}$

має другий порядок точності по координаті і перший порядок точності за часом на класі ${\displaystyle C^{4}}$ гладких функцій.

Умови апроксимації недостатньо для того, щоб результат різницевої схеми наближався до точного відповіді при h→0. У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, необхідним є дотримання умови стійкості. Такі схеми можна уявити як певний лінійний оператор, який перетворює значення функції в момент t в значення функції в момент t+h. Умова стійкості вимагає, щоб власні числа (взагалі кажучи комплексні) цього оператора не перевищували по модулю 1+ch , де c - деяка константа, при h→0. Якщо ця умова не виконана, то похибки схеми швидко зростають і результат тим гірше, чим менше крок. Якщо виконані як умова апроксимації, так і умова стійкості, то результат різницевої схеми сходиться до вирішення диференціального рівняння (теорема Філіппова-Рябенького).

Умова Куранта - швидкість розповсюдження збурень в різницевій задачі не повинна бути менше, ніж в диференціальної. Якщо ця умова не виконана, то результат різницевої схеми може не прагнути до вирішення диференціального рівняння. Іншими словами, за один крок за часом частка не повинна «пробігати» більш одного осередку.

У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, умова Куранта випливає з стійкості.

Для гіперболічних систем рівнянь ця умова часто має вигляд

${\displaystyle \tau \leq \min \left({\frac {h}{|\lambda |_{max}}}\right)}$

(${\displaystyle \tau }$ - крок за часом, ${\displaystyle h}$ - крок просторової сітки, ${\displaystyle |\lambda |_{max}}$ - максимальне по модулю власне значення в точці. Мінімум береться по всіх точках сітки.)

• Різницеве рівняння