Різниця гаусіанів

Порівняння різниці гаусіанів з вейвлетом «мексиканський капелюх»

Формула, враховуючи m-канал для n-вимірного зображення

${\displaystyle I:\{\mathbb {X} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\rightarrow \{\mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{m}\}}$

Різницею гаусіанів для зображення ${\displaystyle I}$ є функція

${\displaystyle \Gamma _{\sigma _{1},\sigma _{2}}:\{\mathbb {X} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\rightarrow \{\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} \}}$

отримана шляхом віднімання зображення ${\displaystyle I}$ згортка з гаусовою дисперсією ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ від зображення ${\displaystyle I}$ згортка з вузькою різницею ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$, при ${\displaystyle \sigma _{2}>\sigma _{1}}$. Для одного виміру ${\displaystyle \Gamma }$ визначається:

${\displaystyle \Gamma _{\sigma _{1},\sigma _{2}}(x)=I*{\frac {1}{\sigma _{1}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-(x^{2})/(2\sigma _{1}^{2})}-I*{\frac {1}{\sigma _{2}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-(x^{2})/(2\sigma _{2}^{2})}.}$

Для двовимірного:

${\displaystyle \Gamma _{\sigma ,K\sigma }(x,y)=I*{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}-I*{\frac {1}{2\pi K^{2}\sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2K^{2}\sigma ^{2})}}$

Яке можна прирівняти до:

${\displaystyle \Gamma _{\sigma ,K\sigma }(x,y)=I*({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}-{\frac {1}{2\pi K^{2}\sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2K^{2}\sigma ^{2})})}$