Середнє значення функції

Середнє значення функції — це деяке число між найменшим і найбільшим її значеннями. У диференціальному і інтегральному численні є ряд «теорем про середнє», що встановлюють існування таких точок, в яких функція або її похідна отримує те чи інше середнє значення. Найбільш важливою теоремою про середнє значення функції в диференціальному численні є теорема Лагранжа (про скінче́нні при́рости): якщо ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ і диференційована в інтервалі ${\displaystyle (a,b)}$, то існує точка ${\displaystyle c}$, що належить до інтервалу ${\displaystyle (a,b)}$, для якої ${\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}$. В інтегральному численні найбільш важливою теоремою про середнє значення є така: якщо ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ зберігає один знак, то існує точка ${\displaystyle c}$ з інтервалу ${\displaystyle (a,b)}$ для якої:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}\varphi (x)dx.}$

Зокрема, якщо ${\displaystyle \varphi (x)=1}$, то

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).}$

Внаслідок цього середнє значення функції ${\displaystyle f(x)}$ на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ - це величина:

${\displaystyle {\overline {f}}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx.}$

Так само визначається середнє значення функції декількох змінних у деякій області.