Сильне псевдопросте число

Формально, непарне складене число n = d • 2^s + 1 з непарним d називається сильним псевдопростим числом (Ферма) за основою a, якщо виконується одна з умов:

${\displaystyle a^{d}\equiv 1\mod n}$

або

${\displaystyle a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1\mod n}$ для деякого ${\displaystyle 0\leq r<s.}$

(Якщо число n задовольняє вищенаведеним умовам і ми не знаємо, чи просте воно чи ні, точніше називати його сильним ймовірно простим за основою a. Якщо ж ми знаємо, що n не просте, можна використовувати термін сильне псевдопросте число.)

Визначення тривіально виконується, якщо a ≡ ±1 mod n, так що ці тривіальні випадки часто виключаються.

Річард Ґай помилково дав визначення тільки з першою умовою, але йому не задовольняють усі прості числа[1].

Сильне псевдопросте число за основою a завжди є псевдопростим Ейлера — Якобі, псевдопростим Ейлера[2] і псевдопростим Ферма за цією основою, але не всі псевдопрості Ейлера і Ферма є сильними псевдопростими. Числа Кармайкла можуть бути сильними псевдопростими за деякими основами, наприклад, 561 є сильними псевдопростим за основою 50, але не за всіма основами.

Складене число n є сильним псевдопростим за максимум чвертю всіх основ, менших від n[3][4]. Таким чином, немає «сильних чисел Кармайкла», чисел, які є сильними псевдопростими для всіх основ. Отже, якщо задано випадкову основу, ймовірність, що число буде сильним псевдопростим за цією основою, не перевищує 1/4, що використовується в поширеному тесті Міллера — Рабіна. Проте, Арно[5] навів 397-значне складене число, яке є сильним псевдопростим за будь-якою основою, меншою від 307. Одним зі способів уберегтися від оголошення таких чисел ймовірно простими полягає в комбінуванні тесту на сильне можливо просте число з тестом на псевдопросте число Люка, як у тесті Бейлі — Померанса — Селфриджа — Вогстаффа.

Існує нескінченно багато сильних псевдопростих за будь-якою конкретною основою[2].

Перші сильні псевдопрості за основою 2

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, … (послідовність A001262 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 3

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, … (послідовність A020229 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 5

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, … (послідовність A020231 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 4 див.  A020230, а за основами від 6 до 100 див. послідовності від  A020232 до  A020326.

Якщо перевіряти наведені вище умови за кількома основами, отримуємо більш потужний тест на простоту, ніж за використання тесту за однією основою. Наприклад, існує тільки 13 чисел, менших від 25·10⁹, які є сильними псевдопростими за основами 2, 3 і 5 одночасно. Їх перераховано в таблиці 7 у статті Померанца і Селфриджа[2]. Найменше таке число — 25326001. Це означає, що при n меншому від 25326001, якщо n є сильним ймовірно простим числом за основами 2, 3 і 5, число n є простим.

Число 3825123056546413051 є найменшим числом, що одночасно є сильним псевдопростим за 9 основами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і 23[6]. Так що при n меншому від 3825123056546413051, якщо n є сильним ймовірно простим за цими 9 основами, то n є простим.

За обережного вибору основи, що не є простою, можна побудувати навіть кращі тести. Наприклад, не існує складених чисел ${\displaystyle <2^{64}}$, сильних псевдопростих за всіма сімама основами 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 і 1795265022[7].