Статична ізотропна метрика

Вигідно замінити ${\displaystyle \mathbf {x} }$ сферичними полярними кординатами ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$:

${\displaystyle x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;}$

${\displaystyle x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;}$

${\displaystyle x^{3}=r\cos \varphi \,.}$

Інтервал в такому разі прийме вигляд:

${\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,}$,

Ми можемо встановити наш годинник згідно з визначенням нової часової кординати

${\displaystyle t'\equiv t+\Phi (r)\,}$

де ${\displaystyle \Phi (r)}$ - довільна функція від ${\displaystyle r}$. Це дозволяє виключити недіагональний елемент ${\displaystyle g_{tr}}$, поклавши

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)}}}$

Тоді інтервал виражається так:

${\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,}$

${\displaystyle G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)}}\right)}$

Ми також можемо перевизначити радіус ${\displaystyle r}$ і тим самим накласти ще одну умову на функції ${\displaystyle F,G,C}$, наприклад таким чином ${\displaystyle r'\equiv r^{2}C(r)}$ . Тоді ми отримаємо так звану стандартну форму для статичної ізотропної метрики:

${\displaystyle d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,}$

де

${\displaystyle B(r)\equiv F(r')}$

${\displaystyle A(r)\equiv (1+{\frac {G(r)}{C(r)}})\left(1+{\frac {r}{2C(r)}}{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}}$

Після останнього перетворення метричний тензор має такі ненульові компоненти:

${\displaystyle g_{rr}=A(r)}$

${\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}}$

${\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta }$

${\displaystyle g_{tt}=-B(r)}$

Де функції ${\displaystyle A(r)}$ і ${\displaystyle B(r)}$ повинні бути визначенні шляхом розв'язування рівнянь поля. Так як ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — діагональний тензор, легко написати ненульові компоненти тензора, оберненого до нього:

${\displaystyle g^{rr}=A^{-1}(r)}$

${\displaystyle g^{\theta \theta }=r^{-2}}$

${\displaystyle g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta }$

${\displaystyle g^{tt}=-B^{-1}(r)}$

Афінна зв'язність може бути обчислена за звичайною формулою:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}$

Її ненульові компоненти виявляються рівними:

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dA(r)}{dx}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta }$,

${\displaystyle \Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta }$,

${\displaystyle \Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}$,

Обчислимо також тензор Річчі. Він задається формулою

${\displaystyle R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.}$

Підставляючи раніше отримані компоненти афінної звізності отримаємо:

${\displaystyle R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)}}}$,

${\displaystyle R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}}$,

${\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }}$,

${\displaystyle R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}}$,

(Штрих тепер означає диференціювання по ${\displaystyle r}$ ). Висновок про те що ${\displaystyle R_{\theta r},R_{\theta \phi },R_{\phi r},R_{\phi t},R_{\theta t}}$ щезають і про те що ${\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta }}$ є наслідком інварінтності метрики відностно поворотів. Рівність нулю ${\displaystyle R_{tr}}$ пов'язано з тим що ми встановили наш годинник так що метрика виявилась інваріантина відносно обернення часу ${\displaystyle t\leftrightarrow -t}$.

Частковим випадком статичної ізотропної метрики є Метрика Шварцшильда, на випадок порожнього(нічим не заповненого) простору часу.

• Вайнберг, «Гравитация и космология».