Символи Крістофеля

Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$, і врахуємо ортогональність вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{ij}}$:

${\displaystyle (7)\qquad (\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})=\Gamma _{ij}^{s}(\mathbf {r} _{s}\cdot \mathbf {r} _{k})=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}}$

в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$, який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):

${\displaystyle (8)\qquad \Gamma _{ij,k}=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=(\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})}$

Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор ${\displaystyle g^{pk}}$:

${\displaystyle (9)\qquad \Gamma _{ij}^{p}=\delta _{s}^{p}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}}$

Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних ${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{ji}}$ і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:

${\displaystyle (10)\qquad \Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ji,k}}$

Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:

${\displaystyle (11)\qquad \Gamma _{ji}^{p}=g^{pk}\Gamma _{ji,k}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ij}^{p}}$

Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):

${\displaystyle (12)\qquad {\partial g_{ij} \over \partial u^{k}}={\partial \over \partial u^{k}}(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})=(\mathbf {r} _{ki}\cdot \mathbf {r} _{j})+(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{kj})}$

Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:

${\displaystyle (13)\qquad \partial _{k}={\partial \over \partial u^{k}}}$

Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:

${\displaystyle (14)\qquad \partial _{k}g_{ij}=\Gamma _{ki,j}+\Gamma _{kj,i}}$

Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси ${\displaystyle (ijk)}$:

${\displaystyle (14a)\qquad \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij,k}+\Gamma _{ik,j}}$

${\displaystyle (14b)\qquad \partial _{j}g_{ki}=\Gamma _{jk,i}+\Gamma _{ji,k}}$

Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:

${\displaystyle (15)\qquad \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}=2\Gamma _{ij,k}}$

звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:

${\displaystyle (17)\qquad \Gamma _{ij,k}={1 \over 2}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}$

${\displaystyle (18)\qquad \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}$

Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.

Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:

${\displaystyle (19)\qquad \Gamma _{is}^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}}$

${\displaystyle (20)\qquad g^{ij}\Gamma _{ij}^{s}=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {g}}g^{is}\right)}$

де буквою без індексів ${\displaystyle g}$ позначено визначник матриці метричного тензора ${\displaystyle (g_{ij})}$. Вивід цих формул дивіться тут.

Нехай на многовиді окрім параметрів ${\displaystyle \{u^{1},u^{2},\dots u^{n}\}}$ задано також інший набір параметрів ${\displaystyle \{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}}$, які задають іншу систему координат.

Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:

${\displaystyle (21)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {u}}^{i} \over \partial u^{j}};\qquad \beta _{j}^{i}={\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{j}}}$

Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:

${\displaystyle (22)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial {\hat {u}}^{i}}={\partial u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r} \over \partial u^{k}}=\beta _{i}^{k}\mathbf {r} _{k}}$

Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:

${\displaystyle (23)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r} \over \partial {\hat {u}}^{j}}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\left(\beta _{j}^{k}\mathbf {r} _{k}\right)=\left({\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\beta _{j}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\mathbf {r} _{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\mathbf {r} _{kl}}$

В останньому доданку розпишемо ${\displaystyle \mathbf {r} _{kl}}$ за формулою (6):

${\displaystyle (24)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\left(\Gamma _{kl}^{p}\mathbf {r} _{p}+\mathbf {b} _{kl}\right)}$

У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$, перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:

${\displaystyle (25)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}=\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}}$

Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.

${\displaystyle (26)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}{\hat {\mathbf {r} }}_{s}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}\mathbf {r} _{k}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}}$

Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини ${\displaystyle \mathbf {b} _{ij}}$ при заміні координат змінюються за тензорним законом:

${\displaystyle (27)\qquad {\hat {\mathbf {b} }}_{ij}=\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}}$

А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:

${\displaystyle (28)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}}$

яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:

${\displaystyle (29)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=\alpha _{k}^{s}\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)}$

Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.

Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат ${\displaystyle u^{1},u^{2},\dots u^{n}}$ і криволінійна система координат ${\displaystyle \{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}}$. У декартових координатах всі символи Крістофеля ${\displaystyle \Gamma _{pq}^{k}}$ тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:

${\displaystyle (30)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=\alpha _{k}^{s}{\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}=\alpha _{k}^{s}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\beta _{j}^{k}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\left(\alpha _{k}^{s}\beta _{j}^{k}\right)-\beta _{j}^{k}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\alpha _{k}^{s}=-\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}{\partial \over \partial u^{l}}\alpha _{k}^{s}}$

або

${\displaystyle (31)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=-\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}{\partial {\hat {u}}^{s} \over \partial u^{k}\partial u^{l}}=-{\partial u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{j}}{\partial u^{l} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial {\hat {u}}^{s} \over \partial u^{k}\partial u^{l}}}$

При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:

${\displaystyle (32)\qquad \alpha _{k}^{s}\beta _{j}^{k}=\delta _{j}^{s}}$

і те, що похідна від константи ${\displaystyle \delta _{j}^{s}}$ дорівнює нулю.

• Дериваційні формули Вейнгартена