Стійкий розподіл

Розподіл ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$ називається стійким, якщо для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існують такі константи ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$, що розподіл випадкової величини ${\displaystyle a_{n}+b_{n}}$ збігається з розподілом суми:

${\displaystyle a_{n}X+b_{n}=^{\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{n,i}}$,

де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини ${\displaystyle Y_{n,i}}$ розподілені як ${\displaystyle X}$, тобто ${\displaystyle Y_{n,i}\sim \mathbb {P} ^{X},\;i=,\ldots ,n}$.

• Якщо ${\displaystyle F_{X}}$ - функція стійкого розподілу, те ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$, такі що

${\displaystyle F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=F_{X}*\cdots *F(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} }$,

де ${\displaystyle *}$ позначає згортку.

• Якщо ${\displaystyle \phi _{X}}$ - характеристична функція стійкого розподілу, те ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$, такі що

${\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}}$.

• Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді, коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина ${\displaystyle X}$ може бути межею по розподілі випадкових величин виду ${\displaystyle {\frac {S_{n}-b_{n}}{a_{n}}}}$, де

${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i},\;\{Y_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ - незалежні однаково розподілені випадкові величини,

тоді і тільки тоді, коли розподіл ${\displaystyle X}$ стійкий.

• (Представлення Леви - Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:

${\displaystyle \ln \phi (t)=\left\{{\begin{matrix}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0\\0,&t=0.\end{matrix}}\right.,}$

де ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,}$ і

${\displaystyle G(t,\alpha )=\left\{{\begin{matrix}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1\end{matrix}}\right..}$

• Безмежно подільний розподіл