Безмежно подільний розподіл

Випадкова величина ${\displaystyle Y}$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ вона може бути представлена у виді

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$,

де ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

• Характеристична функція ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ безмежно подільної випадкової величини ${\displaystyle Y}$ має вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}^{(n)}}^{n}(t)}$.

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$, де

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для деякого ${\displaystyle \lambda >0}$. Тоді випадкова величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$, що має вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не є безмежно подільною.

Розподіл ${\displaystyle \mu }$ на локально компактній абелевій групі ${\displaystyle X}$ називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального ${\displaystyle n}$ існує елемент ${\displaystyle x_{n}\in X}$ і розподіл ${\displaystyle \mu _{n}}$ на ${\displaystyle X}$ такий, що ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$, де ${\displaystyle E_{x_{n}}}$ --- вироджений розподіл, зосереджений в ${\displaystyle x_{n}}$ (див. [1], [2]).

Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, зсуви розподілів Хаара компактних підгруп, узагальнені розподіли Пуассона.