Таблиця Паде

У своїй дисертації 1892[1] французький математик Анрі Паде вивчав апроксимації раціональними функціями типу

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

і розташував їх у таблиці.

M\L	0	1	2	${\displaystyle \ldots }$
0	${\displaystyle [0/0]}$	${\displaystyle [1/0]}$	${\displaystyle [2/0]}$	${\displaystyle \ldots }$
1	${\displaystyle [0/1]}$	${\displaystyle [1/1]}$	${\displaystyle [2/1]}$	${\displaystyle \ldots }$
2	${\displaystyle [0/2]}$	${\displaystyle [1/2]}$	${\displaystyle [2/2]}$	${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$

Паде приділив велику увагу експоненціальнійній функції.

M\L	0	1	2	${\displaystyle \ldots }$
0	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+z}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {2+2z+z^{2}}{2}}}$	${\displaystyle \ldots }$
1	${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$	${\displaystyle {\frac {2+z}{2-z}}}$	${\displaystyle {\frac {6+4z+z^{2}}{6-2z}}}$	${\displaystyle \ldots }$
2	${\displaystyle {\frac {2}{2-2z+z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {6+2z}{6-4z+z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {12+6z+z^{2}}{12-6z+z^{2}}}}$	${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$