Апроксимація Паде

Авторство Паде ґрунтується на його дисертації 1892 [1] (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Нехай є розкладання функції ${\displaystyle f(z)}$ у степеневий ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}}$, де ${\displaystyle c_{i}}$ — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

розкладання якої в ряд Макларена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції ${\displaystyle f(z)}$ до тих пір, поки це можливо. Функція такого виду має ${\displaystyle L+1}$ коефіцієнтів в чисельнику і ${\displaystyle M+1}$ — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначається з точністю до спільного множника, для визначенності нехай ${\displaystyle b_{0}=1}$. Тоді маємо ${\displaystyle L+M+1}$ незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Макларена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для ${\displaystyle 1,z,z^{2},\ldots ,z^{L+M}}$, тобто для формального ряду виконується

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}+O(z^{L+M+1}).}$

• Багатоточкові апроксимації Паде[2][3]
• Апроксимації Бейкера-Гаммеля[3]
• Апроксимація функції декількох змінних[3]
• Матричні апроксимації Паде[4]
• Апроксимація Паде-Чебишева[3]
• Апроксимація Паде-Фур'є[3]

• Анрі Паде
• Таблиця Паде
• Апроксимація

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). Section 5.12 Padé Approximants. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3rd). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Saff, E.B.; Varga, Richard S. (1977). Pade and Rational Approximation: Theory and Applications.. Proceedings of an International Symposium Held at the University of South Florida (Academic Press). ISBN 0-12-614150-9.
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

• Weisstein, Eric W. Padé Approximant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Module for Padé Approximation, John H. Mathews California State University, Fullerton
• Padé Approximants, Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project
• A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval
• Data Analysis BriefBook: Pade Approximation, Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN
• Sinewave, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.