Тензор Вейля

Тензор Вейля можна отримати з тензора кривини, якщо відняти від нього певні комбінації тензора Річчі і скалярної кривини. Формула для тензора Вейля найлегше записується через тензор Рімана в формі тензора валентності (0,4):

${\displaystyle W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g\circ g}$

де n — розмірність многовида, g — метрика, R — тензор Рімана, Ric — тензор Річчі, s — скалярна кривина, а h O k — так званий добуток Кулкарні - Номідзу , добуток двох симетричних тензорів валентності (0,2) є тензор валентності (0,4), що задовольняє симетрії тензора кривини:

${\displaystyle (h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=}$	${\displaystyle h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3})-}$
	${\displaystyle {}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1},v_{4}).}$

У компонентах, тензор Вейля задається виразом:

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}$

де ${\displaystyle R_{abcd}}$ — тензор Рімана, ${\displaystyle R_{ab}}$ — тензор Річчі, ${\displaystyle R}$ — скалярна кривина і [] позначає операцію антісімметрізації.

• Hawking, Stephen W.; Ellis, George F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Petersen, Peter (2006). Riemannian geometry. Graduate Texts in Mathematics 171 (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0387292462. MR 2243772..
• Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9..
• Singer, I.M.; Thorpe, J.A. (1969). The curvature of 4-dimensional Einstein spaces. Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira). Univ. Tokyo Press. с. 355–365.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Weyl tensor. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007). Einstein's General Theory of Relativity. New York: Springer. ISBN 978-0-387-69199-2.