Теорема Ван-Обеля про трикутник

Теорема ван Обеля про трикутник — класична теорема афінної геометрії.

Формулювання

Випадок, коли всі три точки лежать на сторонах трикутника, а не на їх продовженнях.

Випадок, коли дві точки лежать на продовженнях сторін.

Якщо прямі $AP$ , $BP$ , $CP$ перетинають відповідно прямі $BC$ , $CA$ і $AB$ , що містять сторони трикутника $ABC$ , відповідно в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ і $C_{1}$ , то виконується рівність відношень напрямлених відрізків:

{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}

.

Зауваження

Якщо відрізки співнапрямлені (однаково спрямовані), то верхні знаки напрямлених відрізків можна прибрати, і ми отримаємо скалярний варіант теореми ван Обеля:
${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$ .

Про доведення

Зазвичай доводиться застосуванням методу центрів мас; доведення можна також побудувати на основі теореми Менелая.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.