Теорема Варіньона (механіка)

Теоре́ма Варіньо́на — одна з теорем механіки, що встановлює залежність між результуючим моментами заданої системи збіжних сил і моментом їх рівнодійної відносно довільного центра або осі. Сформульована П'єром Варіньоном (фр. Pierre Varignon, 1654–1722) в 1687 році у роботі «Проект нової механіки…»[1], на основі поняття векторної величини та закону додавання сил за правилом паралелограма, введеними в механіку голландським математиком та інженером Сімоном Стевіном (нід. Simon Stevin, 1548–1620) .

Схема до пояснення теореми Варіньона у векторній формі запису

Теорема Варіньона:

Якщо система сил (${\displaystyle {\bar {F}}_{i}}$), прикладених до абсолютно твердого тіла має рівнодійну (${\displaystyle {\bar {R}}}$), то момент рівнодійної ${\displaystyle {\bar {M}}_{O}}$ відносно довільного центра (O) (осі z) дорівнює сумі моментів всіх сил ${\displaystyle {\bar {M}}_{O}(F_{i})}$ системи відносно того ж центра (осі).

Моменти сил відносно центра O — величини векторні і сума є геометричною (векторною):

${\displaystyle {\bar {M}}_{O}=\sum \limits _{i=1}^{N}({\bar {r}}_{i}\times {\bar {F}}_{i})={\bar {r}}\times \sum \limits _{i=1}^{N}{\bar {F}}_{i}={\bar {r}}\times {\bar {R}}}$.

Моменти сил відносно осі z — величини скалярні і сума є алгебраїчною.

${\displaystyle {\bar {M}}_{z}=\sum \limits _{i=1}^{N}M_{z}(F_{i})}$

Моменти сил відносно центра О можуть також розглядатися як величини алгебраїчні, коли всі сили ${\displaystyle {\bar {F}}_{i}}$, розташовані в одній площині і центр О лежить в тій же площині. Теорема Варіньона використовується при розв'язаннні задач з різних розділів механіки (особливо статики): опору матеріалів, будівельної механіки тощо.