Теорема Віка

Нехай потрібно обчислити

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle ,}$

де ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ та ${\displaystyle {\hat {a}}}$ — оператори народження та знищення бозонів. Порядок у цьому добутку не нормальний, оператор знищення стоїть попереду оператора народження. Комутаційне співвідношення для бозонів:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }=1.}$

Звідси

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+1.}$.

У першому члені з правого боку оператори вже стоять у правильному порядку Тоді

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle =\langle |0|:{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }:+1|0|\rangle ,}$.

Вакуумне середнє від добутку операторів у нормальному порядку дорівнює нулю, що дає

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle =1}$.

Теорема Віка встановлює, як таку процедуру виконувати в складніших випадках.

За теоремою Віка звичайний добуток локальних польових операторів дорівнює сумі всіх відповідних нормальних добутків зі всілякими спарюваннями, включаючи й нормальний добуток без спарювань. Іншими словами, добуток польових операторів ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ можна представити у вигляді суми нормальних добутків (нормальний добуток позначається двома двокрапками, наприкад ${\displaystyle$ :{\hat {O}}:} ) зі всілякими взаємними спарювання (замінами пари операторів на числову - неоператорну функцію), тобто, у вигляді суми:

1. нормального добутку без спарювань ${\displaystyle :A_{1}A_{2}\ldots A_{n}:}$;
2. нормальних добутків з одним спарюванням будь-яких двох операторів ${\displaystyle A_{i}}$ і ${\displaystyle A_{j}}$:

${\displaystyle \sum _{i\neq j}:A_{1}\ldots A_{i-1}:\underbrace {A_{i}:A_{i+1}\ldots A_{j-1}:A_{j}} :A_{j+1}\ldots A_{n}:}$

Тут дужка знизу означає спаровування, в разі операторів бозе-полів, а також те, що потрібно врахувати парність перестановок операторів Фермі від порядку (1, 2,..., I,..., J,..., n) до порядку (i , j, 1,..., i-1, i + 1,..., j-1, j + 1,..., n).

1. нормальних добутків з двома різними спарюваннями.
2. нормальних добутків з трьома різними спарювання і так далі. При цьому ${\displaystyle \underbrace {A_{i}A_{j}} }$ визначено як вакуумне середнє від добутку спарених операторів:

${\displaystyle \underbrace {A_{i}A_{j}} =\langle 0|A_{i}A_{j}|0\rangle }$.

Для хронологічного добутку лінійних операторів вираз відрізняється тільки заміною простого спаровування на хронологічне (позначається дужкою зверху):

${\displaystyle \overbrace {A_{i}A_{j}} =\langle 0|{\mathcal {T}}A_{i}A_{j}|0\rangle }$.

Це означає, що будь-який матричний елемент від звичайного або хронологічного добутку N лінійних операторів зрештою виражається через добутки відповідних спарювань. У квантовій теорії поля це призводить до діаграм Фейнмана, в квантовій статистиці - до діаграмної техніки для температурної (термодинамічної) теорії збурень.

• stu.alnam.ru/book_in_qua-72