Теорема Ерроу

• ${\displaystyle O}$ — множина випадків, які кожен агент ранжує відповідно до своїх уподобань.
• ${\displaystyle L_{i}}$ — лінійний порядок вподобань ${\displaystyle i}$-го агента на множині ${\displaystyle O}$ заданий відношенням ${\displaystyle \succ _{i}}$.
• ${\displaystyle [\succ ']}$ — профіль вподобань (кортеж, елементами якого є переваги всіх агентів).
• ${\displaystyle W:L^{N}\to L_{W}}$ — функція суспільного добробуту.
• ${\displaystyle \succ _{W}}$ — колективні вподобання.

Дамо формальні визначення:

• Парето-ефективність: ${\displaystyle W}$ парето-ефективна, якщо для будь-яких випадків ${\displaystyle o_{1},o_{2}\in O,\forall i(o_{1}\succ _{i}o_{2})\Rightarrow (o_{1}\succ _{W}o_{2})}$.
• Незалежність від сторонніх альтернатив:  ${\displaystyle W}$ незалежна від сторонніх альтернатив, якщо для будь-яких випадків ${\displaystyle o_{1},o_{2}\in O}$ і для будь-яких двох профілів вподобань${\displaystyle [\succ ']}$ і ${\displaystyle [\succ '']\in L_{n},\forall i(o_{1}\succ '_{i}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{i}o_{2})\Rightarrow (o_{1}\succ _{W([\succ '])}o_{2}\Leftrightarrow 0_{1}\succ ''_{W([\succ ''])}o_{2})}$.
• Відсутність диктатора: вважаємо, що для ${\displaystyle W}$ відсутній диктатор, якщо не існує такого ${\displaystyle i}$, що ${\displaystyle \forall o_{1},o_{2}\in O(o_{1}\succ _{i}o_{2}\Rightarrow o_{1}\succ _{W}o_{2})}$.
• Теорема Ерроу: якщо ${\displaystyle |O|\geq 3}$, то будь-яка Парето-ефективна, незалежна від сторонніх альтернатив функція суспільного добробуту ${\displaystyle W}$ має диктатора.

Доказ проведемо в 4 етапи.

Етап 1.

Якщо кожен агент розміщує результат ${\displaystyle b}$ нагору або до самого низу свого списку переваг (при цьому не потрібно, щоб все агенти діяли однаково), то і в ${\displaystyle \succ _{W}}$ результат ${\displaystyle b}$ теж буде або вгорі, або внизу списку.

Візьмемо довільний профіль ${\displaystyle [\succ ]}$ такий, що в ньому для всіх агентів ${\displaystyle i}$ результат ${\displaystyle b}$ знаходиться або зверху, або знизу списку вподобань ${\displaystyle \succ _{i}}$. Тепер припустимо, що наше твердження неправильне, тобто існують такі ${\displaystyle a,c\in O}$, що ${\displaystyle a\succ _{W}b}$ и ${\displaystyle b\succ _{W}c}$. Тоді змінимо профіль ${\displaystyle [\succ ]}$ так, щоб для всіх агентів виконувалось ${\displaystyle c\succ _{i}a}$, не змінюючи при цьому ранжування інших результатів. Позначимо отриманий профіль ${\displaystyle [\succ ']}$. Так як після такої модифікації результат b для кожного агента все одно залишиться або на найвищій, або на найнижчій позиції в списку його переваг, то з незалежності W від сторонніх альтернатив можна зробити висновок, що і в новому профілі ${\displaystyle a\succ _{W}b}$ і ${\displaystyle b\succ _{W}c}$. Отже, в силу транзитивності ${\displaystyle \succ _{W}}$ отримаємо ${\displaystyle a\succ _{W}c}$. Але ми припустили, що для всіх агентів ${\displaystyle c\succ _{i}a}$, тоді в силу Парето-ефективності повинно бути ${\displaystyle c\succ _{W}a}$. Отримане протиріччя доводить твердження.

Етап 2.

Для будь-якого результату ${\displaystyle b}$ існує агент, який є центральним у тому сенсі, що, змінивши свій голос, він може перемістити результат ${\displaystyle b}$ з найнижчої позиції в списку ${\displaystyle \succ _{W}}$ до найвищої. Іншими словами, знайдуться два профілі ${\displaystyle [\succ ^{1}]}$ и ${\displaystyle [\succ ^{2}]}$, що відрізняються тільки вподобаннями агента ${\displaystyle i}$, що ${\displaystyle b}$ знаходиться в кінці списку для ${\displaystyle [\succ _{W}^{1}]}$ і на початку списку для ${\displaystyle [\succ _{W}^{2}]}$.

Розглянемо будь-який профіль переваг, у якому все агенти розташували результат ${\displaystyle b}$ унизу свого списка вподобань ${\displaystyle \succ _{i}}$. Зрозуміло, що і в ${\displaystyle \succ _{W}}$ результат ${\displaystyle b}$ знаходиться на найнижчій позиції (в силу Парето-ефективності). Нехай все агенти почали по черзі переставляти результат ${\displaystyle b}$ з найнижчої на найвищу позицію в своїх списках переваг, не змінюючи при цьому ранжування інших результатів. Коли все агенти поставлять результат ${\displaystyle b}$ першим в своєму списку переваг, він буде першим і для ${\displaystyle \succ _{W}}$. Таким чином, у якийсь момент ${\displaystyle \succ _{W}}$ зміниться. Нехай ${\displaystyle n^{*}}$ — агент, який, переставив такиим чином ${\displaystyle b}$, змінив ${\displaystyle \succ _{W}}$ (уперше). позначимо ${\displaystyle [\succ ^{1}]}$ — профіль переваг як раз до того, як ${\displaystyle n^{*}}$ переміщень ${\displaystyle b}$, а ${\displaystyle [\succ ^{2}]}$ — профіль переваг відразу ж після того, як ${\displaystyle n^{*}}$ перемістив ${\displaystyle b}$. Таким чином, в ${\displaystyle [\succ ^{2}]}$ результат ${\displaystyle b}$ змінив позицію в ${\displaystyle \succ _{W}}$, при цьому для всіх агентів ${\displaystyle b}$ знаходиться або на самому верхньому, або на найнижчій позиції ${\displaystyle \succ _{i}}$. Отже, в силу твердження, доведеного на Етапі 1, в ${\displaystyle \succ _{W}}$ результат ${\displaystyle b}$ займає найвищу позицію.

Етап 3.

${\displaystyle n^{*}}$ — диктатор над усіма парами ${\displaystyle <a,c>}$, що не включає в себе ${\displaystyle b}$.

Виберемо з пари ${\displaystyle <a,c>}$ будь-який елемент. Без втрати спільності, виберемо a. Далі з профілю ${\displaystyle [\succ ^{2}]}$ побудуємо ${\displaystyle [\succ ^{3}]}$ наступним чином: в ${\displaystyle \succ _{n^{*}}}$,перемістимо результат a на першу позицію, залишивши інше ранжування незмінним; довільним чином для всіх інших агентів поміняємо місцями один з одним ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle c}$. Тоді, як і в ${\displaystyle [\succ ^{1}]}$ отримаємо, що ${\displaystyle a\succ _{W}b}$ (В силу незалежності від сторонніх альтернатив) і, як і в ${\displaystyle [\succ ^{2}]}$ отримаємо, що ${\displaystyle b\succ _{W}c}$. Тоді ${\displaystyle a\succ _{W}c}$. Тепер побудуємо профіль переваг ${\displaystyle [\succ ^{4}]}$ наступним чином: для всіх агентів помістимо результат ${\displaystyle b}$ на довільну позицію в списку вподобань ${\displaystyle \succ _{i}}$, для агента ${\displaystyle n^{*}}$ помістимо результат ${\displaystyle a}$ в довільну позицію до результату ${\displaystyle c}$. Зрозуміло, що в силу незалежності від сторонніх альтернатив ${\displaystyle a\succ _{W}c}$. Ми отримали, що всі агенті, крім ${\displaystyle n^{*}}$ мають абсолютно довільні профілі вподобань, а результат ${\displaystyle a\succ _{W}c}$ вийшов виходячи тільки лише з припущення, що ${\displaystyle a\succ _{n^{*}}c}$.

Етап 4.

${\displaystyle n^{*}}$ — диктатор над усіма парами ${\displaystyle <a,b>}$.

Розглянемо який-небудь результат с. В силу Етапу 2 існує деякий центральний агент ${\displaystyle n^{**}}$ для цього результату, він же є диктатором для всіх пар ${\displaystyle <A,B>}$, де, зокрема, ${\displaystyle A=a,B=b}$. Якби агент ${\displaystyle n^{**}\neq n^{*}}$ був диктатором над ${\displaystyle <a,b>}$, ніяка заміна переваг агента ${\displaystyle n^{*}}$ не могла б поміняти ранжування ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle \succ _{W}}$. Але на Етапі 2 агент ${\displaystyle n^{*}}$ переставив ${\displaystyle b}$ з останнього місця на перше в ${\displaystyle \succ _{W}}$, і таким чином був зобов'язаний поміняти місцями ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$. Отже, можна зробити висновок, що ${\displaystyle n^{**}}$ Зівпадає з ${\displaystyle n^{*}}$, тобто ${\displaystyle n^{*}}$ і є диктатором.

Доказ завершено.

• Парадокс Кондорсе — парадокс виборів, узагальненням якого стала теорема Ерроу.
• Колективний вибір і індивідуальні цінності

• Теорема о невозможности в задаче пропорционального представительства
• Кардиналистское голосование: Путь преодоления парадоксов социального выбора