Теорема Кнастера — Тарського

Нехай D - $\omega$ -область, $\varphi :D\to D$ - неперервне відображення задане на цій області. Тоді існує найменша нерухома точка $\varphi$ , яка позначається $lfp\ \varphi$ , для якої справедлива формула:

lfp\ \varphi =\bigsqcup _{i\in \omega }\varphi ^{(i)}(\perp )

,

де $\varphi ^{(0)}(\perp )=\perp \ \varphi ^{(i+1)}(\perp )=\varphi (\varphi ^{(i)}(\perp )),\,i\in \omega$

Доведення

Доведення складається з трьох частин:

Доведення факту, що множина $\{\varphi ^{(i)}(\perp )\}i\in \omega$ - ланцюг (тому її супремум $\bigsqcup _{i\in \omega }\varphi ^{(i)}(\perp )$ існує ).
Доведення того, що $\bigsqcup _{i\in \omega }\varphi ^{(i)}(\perp )$ є нерухомою точкою $\varphi$ .
Доведення, що $\bigsqcup _{i\in \omega }\varphi ^{(i)}(\perp )$ є найменшою з нерухомих точок $\varphi$ .

Використані терміни

Омега-область

Множина D - $\omega$ -область (також вживається термін індуктивна множина, $\omega$ -домен), якщо

на D введено частковий порядок $\leq$
в D існує найменший елемент $\perp$
D є повною частково вимірною множиною

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.